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sur l’origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre
Dans le cas actuel, qui est celui de la sphère, ce premier terme
![{\displaystyle e^{-\alpha _{1}t}\mathrm {U} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a70ce6ed1274bf4167ec75105458b072fddd13)
se calcule facilement : la fonction
ne dépend que de la distance
au centre de la sphère. L’équation aux dérivées partielles de Fourier
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=k\Delta v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76b90918b6d3ded697634b1134c0439079949a2)
s’écrit alors,
ne dépendant que de
,
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=k\left({\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dv}{dr}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1100e7934fb428e8d4f55d2c047076666898d830)
Nous avons, pour cette équation, la solution suivante
(4)
|
|
|
les constantes
et
étant liées par la relation
![{\displaystyle \alpha =k\lambda ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4263c3c1137c51c762f2cb2a2637e0d2b1b23862)
Pour déterminer
nous écrirons, en admettant toujours que le refroidissement se fait par contact, que la superficie de la sphère est à la
température zéro. Par suite, en appelant
le rayon de la sphère, on
doit avoir
![{\displaystyle \sin \lambda \mathrm {R} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720274938c15956b341d8e33d2c50f0ec03b35b2)
Prenant donc
![{\displaystyle \lambda \mathrm {R} =\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0ea8040f2a73913614121730aa0a8eb744d789)
nous obtiendrons la plus petite valeur de ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
![{\displaystyle \alpha =k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4979929518dcddf323b6ec5c7d7d37655a1333f1)
L’état pénultième de la sphère est alors donné par la formule (4).
Nous en déduisons, pour le gradient de la température à la surface
(pour
),
![{\displaystyle -\left({\frac {dv}{dr}}\right)_{\mathrm {R} }=-\mathrm {K} e^{-\alpha t}{\frac {\lambda \cos \lambda \mathrm {R} }{\lambda \mathrm {R} }}=\mathrm {K} e^{-\alpha t}{\frac {1}{\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654cb58d31c439f6615084098d3b7595cfa8070c)