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sur l’origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre

Dans le cas actuel, qui est celui de la sphère, ce premier terme

$e^{-\alpha _{1}t}\mathrm {U} _{1}$

se calcule facilement : la fonction $\mathrm {U} _{1}$ ne dépend que de la distance $r$ au centre de la sphère. L’équation aux dérivées partielles de Fourier

${\frac {dv}{dt}}=k\Delta v$

s’écrit alors, $v$ ne dépendant que de $r$,

${\frac {dv}{dt}}=k\left({\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dv}{dr}}\right).$

Nous avons, pour cette équation, la solution suivante

(4)

$v=\mathrm {K} e^{-\alpha t}{\frac {\sin \lambda r}{\lambda r}},$

les constantes $\alpha$ et $\lambda$ étant liées par la relation

$\alpha =k\lambda ^{2}.$

Pour déterminer $\lambda$ nous écrirons, en admettant toujours que le refroidissement se fait par contact, que la superficie de la sphère est à la température zéro. Par suite, en appelant $\mathrm {R}$ le rayon de la sphère, on doit avoir

$\sin \lambda \mathrm {R} =0.$

Prenant donc

$\lambda \mathrm {R} =\pi$

nous obtiendrons la plus petite valeur de $\alpha$

$\alpha =k{\frac {\pi ^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}.$

L’état pénultième de la sphère est alors donné par la formule (4). Nous en déduisons, pour le gradient de la température à la surface (pour $r=\mathrm {R}$),

$-\left({\frac {dv}{dr}}\right)_{\mathrm {R} }=-\mathrm {K} e^{-\alpha t}{\frac {\lambda \cos \lambda \mathrm {R} }{\lambda \mathrm {R} }}=\mathrm {K} e^{-\alpha t}{\frac {1}{\mathrm {R} }}.$