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hypothèses cosmogoniques

homogènes en $\mathrm {A}$ et en $\mathrm {B}$ et propres à déterminer $n$ et le rapport ${\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }},$ une fois choisi l’entier $\gamma$^[1]. Par l’élimination de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B}$ on obtient l’équation en $n$

(5)

$\left(n^{2}+3\omega ^{2}-\omega ^{2}\mu \mathrm {L} _{\gamma }\right)\left(n^{2}+\omega ^{2}\mu \mathrm {N} _{\gamma }\right)-\left(2\omega n+\omega ^{2}\mu \mathrm {M} _{\gamma }\right)^{2}=0.$

À chaque racine $n$ de cette équation du quatrième degré correspond pour les équations (2) une solution de la forme (4). Comme, dans ces formules (4), $\gamma$ peut recevoir une série de valeurs entières^[2], on conçoit la possibilité d’obtenir ainsi les intégrales générales des équations (2).

33.Remarquons que, pour une solution simple telle que la solution (4), la position et la vitesse du satellite P_i à l’époque $t$ sont les mêmes que la position et la vitesse du satellite P_i—1 à l’époque

$t'=t+{\frac {2\gamma \theta }{n}}\cdot$

On peut donc dire que le mouvement se communique d’un satellite à l’autre dans le temps

${\frac {2\gamma \theta }{n}}\cdot$

Chaque solution simple représente ainsi une onde ou vague élémentaire propageant le mouvement avec une vitesse angulaire égale à ${\frac {n}{\gamma }}$. Le mouvement total est la superposition des mouvements qui correspondent à plusieurs ondes élémentaires. Les ondes les plus dangereuses pour la stabilité sont les ondes courtes, c’est-à-dire celles qui correspondent aux grandes valeurs de $\gamma$ ; pour de telles ondes, en effet, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d’une façon sensible, et leur action mutuelle ne serait plus très petite par rapport à l’action de Saturne.

34.Pour que le mouvement normal soit stable, il faut que toutes les valeurs de $n$ soient réelles : sinon les formules (4) donneraient

1. Ces deux équations sont les mêmes, quel que soit l’indice i du satellite que l’on considère.
2. Si, par exemple, le nombre des satellites est pair, p = 2q, il suffira de donner à $\gamma$ les valeurs 1, 2, …, q. À chacune de ces valeurs correspondent 4 valeurs de $n,$ soit en tout 4q valeurs de $n.$ Or, pour chaque valeur de $n,$ les formules (4) comportent deux arbitraires (savoir $\alpha$ et un facteur constant). On obtient donc ainsi 8q = 4p constantes arbitraires, comme l’exige l’intégrale générale des équations (2).