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hypothèses cosmogoniques

49.Cas d’une masse à forte condensation. — Envisageons à présent l’hypothèse où la nébuleuse planétaire, qui tourne autour du Soleil en un temps égal à celui de sa rotation, présenterait une très forte condensation centrale de masse $\mathrm {M} ,$ et cherchons la figure d’équilibre relative de son atmosphère.

Adoptons les mêmes axes de coordonnées que précédemment (fig. 14). Le potentiel d’attraction dû à la condensation est ${\frac {\mathrm {M} }{r}}$ (nous négligeons l’attraction mutuelle des molécules de l’atmosphère) ; le potentiel dû à la force centrifuge est

${\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right)\,;$

le potentiel total est

$\mathrm {U} ={\frac {\mathrm {M} }{r}}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right)+\varepsilon \varphi ,$

$\varepsilon \varphi$ représentant le potentiel dû à l’action perturbatrice du Soleil, situé en C sur l’axe des $y$ (potentiel que nous avons appelé plus haut $\mathrm {V} _{2}$).

Les surfaces de niveau ont pour équation

$\mathrm {U} ={\text{const.}}$

Lorsque $\varepsilon \varphi$ est nul, nous retrouvons l’équation déjà discutée (Section I), et les surfaces sont de révolution : l’une d’elles présente un cercle double équatorial formant arête saillante. Mais il n’en est plus de même lorsque $\varepsilon \varphi$ n’est pas nul. Dans ce cas, l’une des surfaces acquerra un point double si l’on a à la fois

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}&=0,&{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}&=0,&{\frac {d\mathrm {U} }{dz}}=0\end{aligned}}$

La première de ces équations est vérifiée dans le plan $x=0$, par raison de symétrie ; les deux autres, en prenant des coordonnées polaires, c’est-à-dire en posant

$y=r\cos \theta ,\qquad z=r\sin \theta ,$

sont équivalentes à

${\frac {d\mathrm {U} }{dr}}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}=0.$

Ces deux dernières nous donneront les coordonnées polaires du point double ; on aura

${\frac {d\mathrm {U} }{dr}}=-{\frac {\mathrm {M} }{r^{2}}}+\omega ^{2}r+\varepsilon {\frac {d\varphi }{dr}}=0\,;$