Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/24

champ après la transformation de Lorentz, de sorte que le champ idéal $\alpha ^{\prime },$ $f^{\prime }$ correspond au cas d’un électron immobile ; on a :

$\alpha ^{\prime }=\beta ^{\prime }=\gamma ^{\prime }=0,\quad f^{\prime }=-{\frac {d\psi ^{\prime }}{dx^{\prime }}},\quad g^{\prime }=-{\frac {d\psi ^{\prime }}{dy^{\prime }}},\quad h^{\prime }=-{\frac {d\psi ^{\prime }}{dz^{\prime }}}\ ;$

et pour le champ réel (en vertu des formules 9 du § 1) :

(1)

${\begin{cases}\alpha =0,\quad \beta =\epsilon h,\quad \gamma =-\epsilon g,\\[8px]f=l^{2}f^{\prime },\quad g=kl^{2}g^{\prime },\ h=kl^{2}h^{\prime }.\end{cases}}$

Il s’agit maintenant de déterminer l’énergie totale due au mouvement de l’électron, l’action correspondante et la quantité de mouvement électromagnétique, afin de pouvoir calculer les masses électromagnétiques de l’électron. Pour un point éloigné, il suffit de considérer l’électron comme réduit à un point unique ; on est ainsi ramené aux formules (4) du § précédent qui généralement peuvent convenir. Mais ici elles ne sauraient suffire, parce que l’énergie est principalement localisée dans les parties de l’éther les plus voisines de l’électron.

On peut faire à ce sujet plusieurs hypothèses.

D’après celle d’Abraham, les électrons seraient sphériques et indéformables.

Alors, quand on appliquerait la transformation de Lorentz, comme l’électron réel serait sphérique, l’électron idéal deviendrait un ellipsoïde. L’équation de cet ellipsoïde serait d’après le § 1 :

$k^{2}\left(x^{\prime }-\epsilon t^{\prime }-\xi t^{\prime }+\epsilon \xi x^{\prime }\right)^{2}+\left(y^{\prime }-\eta kt^{\prime }+\eta k\epsilon x^{\prime }\right)^{2}$ $+\left(z^{\prime }-\zeta kt^{\prime }+\zeta k\epsilon x^{\prime }\right)^{2}=l^{2}r^{2}.$

Mais ici l’on a :

$\xi +\epsilon =\eta =\zeta =0,\quad 1+\epsilon \xi =1-\epsilon ^{2}={\frac {1}{k^{2}}},$

de sorte que l’équation de l’ellipsoïde devient :

${\frac {x^{\prime 2}}{k^{2}}}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=l^{2}r^{2}.$

Si le rayon de l’électron réel est r, les axes de l’électron idéal seraient donc :

$klr,\quad lr,\quad lr.$

Dans l’hypothèse de Lorentz, au contraire, les électrons en mouvement seraient déformés, de telle façon que ce serait l’électron réel qui deviendrait un ellipsoïde, tandis que l’électron idéal immobile serait toujours une sphère de rayon $r$ ; les axes de l’électron réel seront alors :

${\frac {r}{lk}},\quad {\frac {r}{l}},\quad {\frac {r}{l}}.$

Désignons par

$A={\frac {1}{2}}\int f^{2}d\tau$

l’énergie électrique longitudinale ; par

$B={\frac {1}{2}}\int \left(g^{2}+h^{2}\right)d\tau$