ou, puisque 
de sorte que nos 4 invariants (5) deviennent :
et nos 4 invariants (7) :
![{\displaystyle \sum X_{1}^{2},\quad \sum X_{1}\left[x_{1}+\left(\xi -\xi _{1}\right)r_{1}\right],\quad \sum X_{1}\left(\xi _{1}-\xi \right),\quad 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8db1ca2c8d888872100c214a2ad39693102f44)
Dans la seconde de ces expressions j’ai écrit 
au lieu de 
parce que 
est multiplié par 
et que je néglige le carré de 
D’autre part, la loi de Newton nous donnerait, pour ces 4 invariants (7),
Si donc nous appelons 
et 
le 2det le 3e des invariants (5), et 
les 3 premiers invariants (7), nous satisferons à la loi de Newton, aux termes près de l’ordre du carré des vitesses, en faisant :
| (8)
|
|
|
Cette solution n’est pas unique. Soit en effet 
le 4e invariant (5), 
est de l’ordre du carré de 
et il en est de même de 
Nous pourrions donc ajouter aux 2ds membres de chacune des équations (8) un terme formé de multiplié par une fonction arbitraire de 
et un terme formé de 
multiplié également par une fonction de 
Au premier abord, la solution (8) paraît la plus simple, elle ne peut néanmoins être adoptée ; en effet, comme sont des fonctions de 
et de 
on peut tirer de ces trois équations (8) les valeurs de 
mais dans certains cas ces valeurs deviendraient imaginaires.
Pour éviter cet inconvénient, nous opérerons d’une autre manière. Posons :
ce qui est justifié par l’analogie avec la notation
qui figure dans la substitution de Lorentz.
Dans ce cas, et à cause de la condition 
les invariants (5) deviennent :
