Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/8

et nous aurions les équations :

(11bis)

${\begin{cases}X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{5}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}(X_{1}+\epsilon \sum X_{1}\xi ),\\\\Y_{1}^{\prime }={\frac {1}{l^{5}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}Y_{1},\\\\Z_{1}^{\prime }={\frac {1}{l^{5}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}Z_{1}.\end{cases}}$

Lorentz avait trouvé [à la différence des notations près, page 813, formule (10)] :

(11ter)

${\begin{cases}X_{1}=l^{2}X_{1}^{\prime }-l^{2}\epsilon (\eta ^{\prime }g^{\prime }+\zeta ^{\prime }h^{\prime }),\\\\Y_{1}={\frac {l^{2}}{k}}Y_{1}^{\prime }+{\frac {l^{2}\epsilon }{k}}\xi ^{\prime }g^{\prime },\\\\Z_{1}={\frac {l^{2}}{k}}Z_{1}^{\prime }+{\frac {l^{2}\epsilon }{k}}\xi ^{\prime }h^{\prime }.\end{cases}}$

Avant d’aller plus loin, il importe de rechercher la cause de cette importante divergence. Elle tient évidemment à ce que les formules pour $\xi ^{\prime },\ \eta ^{\prime },\ \zeta ^{\prime }$ ne sont pas les mêmes, tandis que les formules pour les champs électriques et magnétiques sont les mêmes.

Si l’inertie des électrons est exclusivement d’origine électromagnétique, si de plus ils ne sont soumis qu’à des forces d’origine électromagnétique, la condition d’équilibre exige que l’on ait à l’intérieur des électrons :

$X=Y=Z=0.$

Or en vertu des équations (11) ces relations équivalent à

$X^{\prime }=Y^{\prime }=Z^{\prime }=0.$

Les conditions d’équilibre des électrons ne sont donc pas altérées par la transformation.

Malheureusement une hypothèse aussi simple est inadmissible. Si, en effet, on suppose $\xi =\eta =\zeta =0,$ les conditions $X=Y=Z=0$ entraîneraient $f=g=h=0,$ et par conséquent $\sum {\frac {df}{dx}}=0,$ c’est-à-dire $\rho =0.$ On arriverait à des résultats analogues dans le cas le plus général. Il faut donc bien admettre qu’il y a outre les forces électromagnétiques, soit d’autres forces, soit des liaisons. Il faut alors chercher à quelles conditions doivent satisfaire ces forces ou ces liaisons, pour que l’équilibre des électrons ne soit pas troublé par la transformation. Ce sera l’objet d’un paragraphe ultérieur.

§ 2. — Principe de moindre action.

On sait comment Lorentz a déduit ses équations du principe de moindre action. Je reviendrai cependant sur la question, bien que je n’aie rien d’essentiel à ajouter à l’analyse de Lorentz, parce que je préfère la présenter sous une forme un peu différente qui me sera utile pour mon objet. Je poserai :

(1)

$J=\int dt\ d\tau \left[{\frac {\sum f^{2}}{2}}+{\frac {\sum \alpha ^{2}}{2}}-\sum Fu\right],$