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Nous aurons, d'après ce qui précède,

$I_{1}+I'=0\quad {\text{et}}\quad I_{2}+I'=0,$

d'où

$I_{1}=I_{2}.\,$

Mais $I_{1}$ et $I_{2}$ sont les valeurs de l'intégrale

$\int Xdx+Ydy+Zdz$

prise suivant les courbes $M_{0}P_{1}M$ et $M_{0}P_{2}M$. Puisqu'elles sont égales la valeur de l'intégrale ne dépend que de ses limites. Or, c'est une condition suffisante pour que la quantité placée sous le signe d'intégration soit une différentielle exacte. Il y a donc bien une fonction des forces et, par suite, conservation de l'énergie.

13.

Considérons maintenant le cas où la force dépend non seulement de son point d'application, mais aussi de la vitesse de ce point.

En répétant le raisonnement précédent on trouverait que $I$ ne peut être positif. Mais on ne peut affirmer que cette quantité n'est pas négative, car la démonstration donnée précédemment ne s'applique plus. En effet, quand on change le sens du mouvement du point matériel sur la courbe fermée, on change en même temps celui de la vitesse ; comme $X$, $Y$, $Z$ dépendent de cette vitesse, on ne peut plus dire que ces composantes possèdent, au même point de la courbe, la même valeur quel que soit le sens du mouvement ; par suite, la variation $I$ de la force vive peut non seulement changer de signe, mais aussi de valeur