on a aussi, identiquement,
![{\displaystyle a\,(s_{1}-a)+b\,(s_{1}-b)+c\,(s_{1}-c)+{\text{etc.}}=2s_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3572441ad88189bd18cc4551e9a2942f8d75847d)
;
la probabilité d’amener une boule blanche au second tirage deviendra donc
. De même, la probabilité d’amener une boule blanche au troisième tirage sera
, si les deux boules blanches ou noires, extraites dans les deux premiers tirages, sont sorties de A et B ; cette probabilité sera
, si ces deux boules ont été extraites de A et C ; et ainsi de suite. Donc la probabilité d’amener une boule blanche au troisième tirage, aura pour valeur complète
![{\displaystyle {\frac {g(s_{1}-a-b)}{m-2}}+{\frac {h(s_{1}-a-c)}{m-2}}+{\frac {k(s_{1}-b-c)}{m-2}}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f185f0213367757ac06a361136630ee177c459)
;
,
,
, etc., désignant les probabilités que les boules extraites dans les deux premiers tirages sont sorties de A et B, de A et C, de B et C, etc. ; lesquelles probabilités sont, d’après le numéro précédent,
![{\displaystyle g={\frac {ab}{s_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f805143329c582c9e5a7a7af853dad9a1e5a501)
,
![{\displaystyle h={\frac {ac}{s_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbf2987ac6983509bf132df371fc9a6b1763e56)
,
![{\displaystyle k={\frac {bc}{s_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b94f96058ffcf1d8688194cadcb08f45ae499d1)
, etc. ;
et comme on a identiquement
![{\displaystyle ab\,(s_{1}-a-b)+ac\,(s_{1}-a-c)+bc\,(s_{1}-b-c)+{\text{etc.}}=3s_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124a86316b6c76a1f1a462e0fe7e1accc86a3d2b)
,
la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche au troisième tirage deviendra
.
On continuera sans difficulté ce raisonnement autant qu’on voudra. Il en résultera
![{\displaystyle {\frac {s_{1}}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4b2b330828ab50468225afb1c23b379adcc000)
,
![{\displaystyle {\frac {2s_{2}}{(m-1)\,s_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97346be30ff5a7a108a79085ace7d5ffc8d099da)
,
![{\displaystyle {\frac {3s_{3}}{(m-2)\,s_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7650817915985d80640fc267677c5ab49cecba3a)
, …,
![{\displaystyle {\frac {ns_{n}}{(m-n+1)\,s_{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04348ad3f4dccca050f7058cb24f466184588e0e)
,
pour les probabilités d’amener des boules blanches à chacun des
premiers tirages ; la probabilité demandée sera donc le produit de ces ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)