d’où l’on déduit
![{\displaystyle \textstyle \sum n^{2}=2\sum {\dfrac {n(n+1)}{1\,{.}\,2}}-\sum n={\dfrac {m\,(m+1)\,(2m+1)}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e1aaca887fdf48e4df670077e2b925ef75137b)
,
et, en conséquence,
![{\displaystyle \varpi '={\frac {2m+1}{3m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6d7d076140672e9e5052d726a527c40c167fc5)
.
Dans le second cas, le nombre de boules blanches et le nombre total de boules que B renferme, étant diminués d’une unité à la seconde épreuve, on aura
![{\displaystyle p'_{n}={\frac {n-1}{m-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5246685401165262e970f5e629a23ca92b6e60)
,
![{\displaystyle {\textstyle \sum p_{n}p'_{n}}={\frac {1}{m(m-1)}}{\textstyle \sum n(n-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bed585769bd9ced628cf1f8a8194424b5f2cc69)
;
on aura toujours
![{\displaystyle p_{n}={\frac {n}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e438a968687010ab8884a623a040419d75728c)
,
![{\displaystyle \textstyle \sum p_{n}={\frac {1}{2}}(m+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab6b2145835f06f73d7352798c11c8d2020702b)
,
et à cause de
![{\displaystyle {\textstyle \sum {\dfrac {n(n-1)}{1\,{.}\,2}}}={\frac {(m-1)\,m\,(m+1)}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee4d2ece8c665aeead5569d5fc3dbdb7664b86f)
,
on en conclura
![{\displaystyle \varpi '={\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b74abca9ba0efcea0775202681c7d0c02476883)
.
La probabilité d’extraire une boule blanche d’une urne, d’où il est déjà sorti une boule de cette couleur que l’on n’y a pas remise, est donc indépendante du nombre
de boules blanches ou noires que l’urne renfermait, et toujours égale à 2/3. La valeur de
relative au premier cas se réduit aussi à cette fraction 2/3, comme cela devait être, lorsque
est un nombre très grand et qu’on le considère comme infini.
Sur un nombre quelconque
de boules blanches ou noires que B renfermait primitivement, si l’on savait qu’il en a été extrait
boules blanches, il y aurait la probabilité
, que la boule restante est aussi blanche. On ne pourrait faire alors que deux hypothèses C1