Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/116

somme ${\textstyle \sum q_{n}p_{n}}$ des produits semblables, qui se rapportent à toutes les causes auxquelles l’événement peut être attribué.

La probabilité $\varpi '$ de l’événement futur E′ qui dépend des mêmes causes que E, aura, comme plus haut, ${\textstyle \sum \varpi _{n}p'_{n}}$ pour valeur, en employant dans cette somme l’expression de $\varpi _{n}$ que l’on vient de déterminer ; ce qui donne

$\varpi '={\frac {\sum q_{n}p_{n}p'_{n}}{\sum q_{n}p_{n}}}$.

Supposons que E′ soit aussi observé après E. Soit E″ un troisième événement dépendant toujours des mêmes causes ; et désignons par $p''_{n}$, la chance que la cause C_$n$, si elle était certaine, donnerait à l’arrivée future de E″. La probabilité de cette cause était $\varpi _{n}$ après l’observation de E et avant celle de E′ ; par la règle précédente, elle est devenue ${\tfrac {\varpi _{n}p'_{n}}{\sum \varpi _{n}p'_{n}}}$, après l’observation de E′ ; en mettant dans sa valeur celle de $\varpi _{n}$, elle devient ${\tfrac {q_{n}p_{n}p'_{n}}{\sum q_{n}p_{n}p'_{n}}}$ ; et en la multipliant par $p''_{n}$, on aura la probabilité de l’arrivée de E″, en vertu de la cause C_$n$. Par conséquent, si nous désignons par $\varpi ''$ la probabilité complète de cette arrivée, nous aurons

$\varpi ''={\frac {\sum q_{n}p_{n}p'_{n}p''_{n}}{\sum q_{n}p_{n}p'_{n}}}$ ;

expression qui se déduit aussi de celle de $\varpi '$, par la substitution de $p''_{n}$ au lieu de $p'_{n}$ et de ${p_{n}p'_{n}}$ à la place de $p_{n}$. Et, en effet, relativement à la cause C_$n$, ce produit ${p_{n}p'_{n}}$ est la chance de l’événement observé, c’est-à-dire, de la succession des événements E et E′.

(35). Pour donner un exemple très simple de la règle précédente, qui pourra servir à en vérifier l’exactitude et la nécessité, je suppose que l’on trouve sur une table deux cartes dont les couleurs sont inconnues, et qu’en en retournant une, on observe qu’elle est rouge. On ne pourra faire que deux hypothèses sur les couleurs de ces cartes : qu’elles sont toutes deux rouges, ou que l’une est rouge et l’autre noire. Si l’on ignore absolument d’où ces cartes proviennent, ces deux causes hypothétiques de l’événement observé seront également