bilité après que le fait a été attesté par un nombre quelconque
de témoins ;
sera cette même probabilité, quand le fait est attesté seulement par un nombre
de témoins ; et si l’on représente par
avec un nombre
d’accents, c’est-à-dire par
, la probabilité que le témoin qui n’est pas compris dans ceux-ci, ne nous trompe pas, lorsqu’il atteste aussi la vérité du fait, l’expression de
se déduira de celle de
du numéro précédent, en y mettant
et
, au lieu de
et
, de sorte que l’on aura
![{\displaystyle y_{x}={\frac {p^{(x-1)}y_{x-1}}{p^{(x-1)}y_{x-1}+(1-p^{(x-1)})\,(1-y_{x-1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c1eb291a0c8d2881a161959edcc2d419a58f0f)
.
La valeur de
sera la probabilité primitive
; et si l’on fait successivement
, etc., on déduira de cette formule
![{\displaystyle y_{1}={\frac {pq}{pq+(1-p)\,(1-q)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307c3086978b81051f61927c355d15ffe8a54fd1)
,
![{\displaystyle y_{2}={\frac {p'y_{1}}{p'y_{1}+(1-p')\,(1-y_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae962e6dd24d9a4406e3c16dc21e17f08a3313b)
, etc. ;
d’où l’on conclura la valeur de
par l’élimination de
, celle de
par l’élimination de
, et ainsi de suite. Mais, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {1-p^{(x-1)}}{p^{(x-1)}}}=\rho _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d260d492c259dd40bfd34ef396e921b7148d4b5)
,
l’équation précédente, aux différences finies du premier ordre, se changera en celle-ci :
![{\displaystyle y_{x}={\frac {y_{x-1}}{y_{x-1}+\rho _{x}(1-y_{x-1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e9b28d9f5361e344c0f70faa742840a57d71da)
,
dont l’intégrale complète est
![{\displaystyle y_{x}={\frac {c}{c+(1-c)\,\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\!\ldots \!\rho _{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669a5f619fc7290b6f519e970d09e570a694050a)
,
en désignant par
la constance arbitraire. En mettant
au lieu de
dans cette expression de
, on en déduit effectivement
![{\displaystyle y_{x-1}={\frac {c}{c+(1-c)\,\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\!\ldots \!\rho _{x-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c40c5ae1ac5bc927ff5b6535d4842e298fc392)
,