![{\displaystyle p_{i}={\frac {u\,(1-v)}{m-1}}+{\frac {v\,(1-u)}{m-1}}+{\frac {(m-2)\,(1-u)\,(1-v)}{(m-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef80b76424c16e7978971c81b6ff27b75a00382)
,
pour la probabilité complète de l’événement observé, dans une des
hypothèses contraires à la vérité de cet événement. Cette valeur de
; est d’ailleurs liée à celle de
par l’équation
![{\displaystyle p_{n}+(m-1)\,p_{i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648c5eeeaf44c9fe6dba1fee6f4d47011e6a02de)
,
résultante de ce que la somme des probabilités que le témoin annoncera la sortie du no
, correspondante aux
hypothèses C1, C2, C3,… C
, doit être égale à l’unité.
Maintenant, par la règle du no 34, nous aurons
![{\displaystyle \varpi _{n}={\frac {q_{n}p_{n}}{q_{n}p_{n}+\sum q_{i}p_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612e818dada566eafd7d242e5cb63d5b41fdf54c)
,
![{\displaystyle \varpi _{i}={\frac {q_{i}p_{i}}{q_{n}p_{n}+\sum q_{i}p_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e00f19d54aeadd5839bd53f2cb07e6445342d4)
;
les sommes
s’étendant à toutes les valeurs de l’indice
, depuis
jusqu’à
, excepté
. Et comme la quantité
est indépendante de
, et que la somme des valeurs de
, moins celle qui répond à
, est
, l’expression de
deviendra
![{\displaystyle \varpi _{n}={\tfrac {[(m-1)\,uv+(1-u)\,(1-v)]\,(m-1)\,a_{n}}{[(m-1)uv+(1-u)(1-v)](m-1)a_{n}+[(m-1)(1-v)u+(m-1)(1-u)v+(m-2)(1-u)(1-v)](\mu -a_{n})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5c4cc3760636091ae3db1e747534282a690e9a)
après qu’on y aura substitué les valeurs de
,
,
,
, et multiplié son numérateur et son dénominateur par
. Ce sera donc la probabilité que le numéro
annoncé par le témoin est réellement sorti de A ; la probabilité qu’il ne l’est pas aura
pour valeur ; et, en particulier, celle de la sortie d’un tout autre numéro déterminé
se déduira de l’expression de
, en la multipliant par le rapport de
à
ou de
à
; en sorte que l’on aura
![{\displaystyle \varpi _{i}={\frac {(1-\varpi _{n})a_{i}}{\mu -a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d49ea17c0cb2b58538c3f06777c9905ca16411a)
.
On doit remarquer que pour obtenir ces résultats, nous avons admis que quand le témoin se trompe ou qu’il veut tromper, le numéro qu’il annonce est déterminé par le hasard seulement, et non par quelque cause particulière. Il n’en serait pas de même, lorsqu’il veut