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au nombre $b$ de boules noires, $\alpha$ sera aussi très petit par rapport à $\beta$, et réciproquement ; mais le rapport de l’une des fractions ${\tfrac {\alpha }{\beta }}$ et ${\tfrac {a}{b}}$ à l’autre, pourra différer beaucoup de l’unité, à moins que la série des épreuves n’ait été poussée excessivement loin : quand la chance connue ou inconnue de l’extraction d’une boule blanche est très faible, l’équation approchée ${{\tfrac {\alpha }{\beta }}={\tfrac {a}{b}}}$ signifie seulement que ${\tfrac {\alpha }{\beta }}$ et ${\tfrac {a}{b}}$ sont l’une et l’autre de très petites fractions.

La règle que l’on vient d’énoncer convient également aux chances de diverses causes, qui s’excluent mutuellement et auxquelles on peut attribuer un événement E, observé un très grand nombre de fois. Si $\gamma$ est la chance counue ou inconnue de l’une de ces causes C, le rapport ${\tfrac {\gamma }{1-\gamma }}$ sera, avec une grande approximation et une grande probabilité, celui du nombre de fois que E est effectivement arrivé en vertu de C, au nombre de fois qu’il aura été produit par toute autre cause ; ce qui fera connaître le rapport de ces deux nombres, quand la chance $\gamma$ sera connue à priori, ou la valeur de cette chance, si l’on parvenait à déterminer ce rapport par l’expérience.

L’événement E étant, par exemple, la sortie d’une boule blanche qui a pu être extraite d’une urne A contenant $a$ boules blanches et $a'$ boules noires, ou d’une urne B renfermant $b$ boules blanches et $b'$ boules noires ; la chance $\gamma$ de A, d’avoir été la cause de E ou l’urne d’où l’on a extrait la boule blanche, a pour valeur, d’après la règle du n^o 28,

$\gamma ={\frac {a\,(b+b')}{a\,(b+b')+b\,(a+a')}}$,

et la chance contraire, ou celle qui se rapporte à B, est de même

$\gamma ={\frac {b\,(a+a')}{a\,(b+b')+b\,(a+a')}}$,

Or, si l’on a tiré un très grand nombre $\mu$ de boules blanches, de l’une ou de l’autre des deux urnes, en remettant à chaque épreuve, dans l’urne dont elle est sortie, la boule blanche ou noire qui en a été extraite, le rapport du nombre de boules blanches sorties de A à celui