Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/163

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

soit qu’il n’y ait qu’un nombre limité $\nu$ de causes possibles, soit qu’il y en ait un nombre illimité, ou qu’on ait ${\nu =\infty }$ .

(54). Maintenant, la loi des grands nombre réside dans ces deux équations

{\frac {m}{\mu }}={\frac {m'}{\mu '}}

,

{\frac {s}{\mu }}={\frac {s'}{\mu '}}

,

applicables à tous les cas d’éventualité des choses physiques et des choses morales. Elle a deux significations différentes dont chacune répond à l’une de ces équations, et qui se vérifient constamment l’une et l’autre, comme on a pu le voir par les exemples variés que j’ai cités dans le préambule de cet ouvrage. Ces exemples de toute espèce ne pouvaient laisser aucun doute sur sa généralité et son exactitude ; mais il était bon, à cause de l’importance de cette loi, qu’elle fût démontrée à priori ; car elle est la base nécessaire des applications du calcul des probabilités, qui nous intéressent le plus ; et d’ailleurs sa démonstration, fondée sur les propositions des deux numéros précédents, a l’avantage de nous faire connaître la raison même de son existence.

En vertu de la première équation, le nombre $m$ de fois qu’un événement E, de nature quelconque, a lieu dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, peut être regardé comme proportionnel à $\mu$ . Pour chaque nature de chose, le rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$ a une valeur spéciale $\gamma$ , qu’il atteindrait rigoureusement, si $\mu$ pouvait devenir infini ; et la théorie nous montre que cette valeur est la somme des chances possibles de E à chaque épreuve, multipliées respectivement par les probabilités des causes qui leur correspondent. Ce qui caractérise l’ensemble de ces causes, c’est la relation qui existe pour chacune d’elles entre sa probabilité et la chance qu’elle donnerait, si elle était certaine, à l’arrivée de E. Tant que cette loi de probabilité ne change pas, nous observons la permanence du rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$ , dans diverses séries composées d’un grand nombre d’épreuves ; si, au contraire, entre deux séries d’épreuves, cette loi a changé, et qu’il en soit résulté dans la chance moyenne $\gamma$ , un changement notable, nous en serons avertis par un changement semblable dans la valeur de ${\tfrac {m}{\mu }}$ : lorsque, dans l’intervalle de deux séries d’ob-