On aura aussi
![{\displaystyle \operatorname {log.} {e^{-x}x^{n}}=\operatorname {log.} {\mathrm {H} }-t^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19afb2307bad9885e6371566f5b09e3b070f5af1)
;
et si l’on fait
![{\displaystyle x=h+x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce90838fa2879f4a87691262e3ed00f2eb6a172)
,
et qu’on développe suivant les puissances de
, il en résultera
![{\displaystyle t^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}\,x'^{2}+{\frac {1}{2\,{.}\,3}}{\frac {d^{3}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{3}}}\,x'^{3}+{\text{etc.}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eafcc89fb27190dabca50b62f2b7a1f1f639492)
,
en observant que la différentielle première de
est égale à zéro, et où l’on fera
après les différentiations. La valeur de
que l’on tirera de cette équation pourra être représentée par une série de la forme
![{\displaystyle x'=h't+h^{2}t^{2}+h'''t^{3}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2350ad5ecd6d59046310c495567f727952bf3211)
;
,
,
, etc., étant des coefficients indépendants de
, que l’on déterminera, les uns au moyen des autres, en substituant cette valeur dans cette équation, et égalant ensuite à zéro la somme des coefficients de chaque puissance de
dans son premier membre. On aura, de cette manière,
|
|
(2)
|
En désignant par
un nombre entier et positif, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=0,\\&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt={\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2i-1}{2^{i}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e4b5e39d94ca904ecbeb9743eccb700745ccad)
On a aussi, comme on sait,
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0027f81e50aeed32612a4b7f0be2fee57d444491)
;