Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/257

et désignant par $\gamma$ l’une de ces deux quantités

$\gamma ={\frac {(a-b)\mu c}{2{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}$,$\gamma ={\frac {(a-b)\mu c}{2{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}-\delta$,

savoir : la première quand $\mu$ sera pair, et la seconde quand il sera impair. La formule (28), après qu’on y aura substitué cette valeur de $t$, exprimera donc la probabilité que dans les $\mu$ tirages successifs, le nombre des boules noires surpassera celui des boules blanches, d’un nombre d’unités égal à $2i$ ou ${2i-1}$ ; par conséquent, si l’on y fait successivement ${i=1,}\,{=2,}\,{=3,\ldots }$ jusqu’à ce que l’exponentielle $e^{-t^{2}}$ soit devenue insensible, ou, si l’on veut, jusqu’à ${i=\infty }$, et que l’on prenne ensuite la somme des résultats ; cette somme sera la probabilité que dans ces $\mu$ tirages, le nombre des boules noires excédera celui des blanches, d’un nombre pair ou impair quelconque d’unités. En la désignant par $s$, nous aurons

$s=\sum \mathrm {H} \left[1-{\frac {4t^{3}(a-b)(c-2\mu )}{3{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}\right]e^{-t^{2}}$ ;

$\textstyle \sum$ indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs de $t$, comprises depuis ${t=\gamma +2\delta }$ jusqu’à ${t=\infty }$, et croissantes par des différences constantes et égales à $2\delta$. Or, $2\delta$ étant, par hypothèse, une très petite fraction, la somme $\textstyle \sum$ pourra s’exprimer en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de cette différence. En effet si l’on représente par $\mathrm {T}$ la fonction de $t$ contenue sous le signe $\textstyle \sum$, et si l’on observe que cette fonction et toutes ses différentielles s’évanouissent à la limite ${t=\infty }$, on aura, au moyen d’une formule due à Euler,

${\textstyle \sum \mathrm {T} }={\frac {1}{2\delta }}\int _{\gamma }^{\infty }\mathrm {T} dt-{\frac {1}{2}}k-{\frac {2\delta }{12}}k'+{\frac {(2\delta )^{2}}{720}}k'''-{\text{etc.}}$ ;

$k$, $k'$, $k'''$, etc., étant les valeurs de $\mathrm {T}$, ${\tfrac {d\mathrm {T} }{dt}}$, ${\tfrac {d^{3}\mathrm {T} }{dt^{3}}}$, etc., qui répondent à ${t=\gamma }$. D’après les équations (29), on a d’ailleurs, au même degré