une troisième et une quatrième intégration donneront de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin {\gamma x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{3}}}+{\frac {(1-\alpha ^{2})\gamma }{\alpha ^{2}}}\right]{\frac {dx}{x^{5}}}\\&\qquad =\pm (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{4}}{1.2.3.4}},\\&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos {\gamma x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{4}}}+{\frac {(1-\alpha ^{4})}{\alpha ^{4}}}+{\frac {(1-\alpha ^{2})\gamma ^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right]{\frac {dx}{x^{6}}}\\&\qquad =\mp (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{5}}{1.2.3.4.5}}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938656a1cea49714e03844fc0ef1251f07ca0672)
et en continuant ainsi, on parviendrait à des équations de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin {\gamma x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {C} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm (-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }(1-\alpha ){\frac {\gamma ^{\mu }}{1.2.3\!\ldots \!\mu }},\\&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos {\gamma x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {C} '\right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\mp (-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}(1-\alpha ){\frac {\gamma ^{\mu }}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d48b97c2aac1264a2ff7f777a1f62635d5401d)
la première répondant au cas où
est un nombre pair, et la seconde au cas où
est impair. Les quantités
et
sont des constantes déterminées, qui dépendent de
et
, et dont les expressions, faciles à former, nous seront inutiles à connaître.
Je mets successivement, dans chacune de ces équations,
et
au lieu de
; et par la soustraction des résultats, j’en déduis
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}\,\sin {\alpha \varepsilon x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {D} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm {\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }(1-\alpha )}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}[(\gamma +\varepsilon )^{\mu }-(\gamma -\varepsilon )^{\mu }],\\&{\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}\,\sin {\alpha \varepsilon x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {D'} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm {\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}(1-\alpha )}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}[(\gamma +\varepsilon )^{\mu }-(\gamma -\varepsilon )^{\mu }]\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe58e9ea406484ad127cd658b5bc124c2b18507)
et
étant des constantes différentes de
et
. Je mets encore successivement
et
à la place de
; et par l’addition des résultats dans la première équation, et la soustraction