quantité qui se réduit à
![{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3i+2}{2i+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31827db5fc76fbfa43fa9846ce576735ff8d158d)
.
Elle est l’unité, comme cela doit être, pour
; elle s’approche indéfiniment de
, en diminuant toujours, à mesure que
augmente de plus en plus. Dans le cas de
, on peut aussi faire
hypothèses également possibles ; on peut supposer que A renferme
boules blanches,
boules blanches et une boule noire, …,
boules blanches et
boules noires. Il en résulte
![{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{i+1}}\left({\tfrac {2i+2}{2i+2}}+{\tfrac {2i+1}{2i+2}}+{\tfrac {2i}{2i+2}}+\ldots +{\tfrac {i+2}{2i+1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bdb7dd764529fcdac62476cbf8bde2fc581ad5)
;
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3i+4}{2i+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8732a8200fdde24a4c63066a1d3ab89802e4d8c)
.
pour la valeur complète de
. Comme la précédente, elle est
et
, pour les valeurs extrêmes
et
. Pour tout autre nombre entier
, elle excède la précédente d’une fraction
, dont le maximum est
; et répond à
.
Une urne A contenant un nombre total
de boules, dont
boules blanches, concevons que ces boules soient partagées dans son intérieur, en groupes tels que le premier renferme
boules dont
blanches, le deuxième
boules dont
blanches, etc., de sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&c_{1}&{}+{}&c_{2}&{}+{}&c_{3}&{}+{}{\text{etc.}}{}={}&c,\\&a_{1}&{}+{}&a_{2}&{}+{}&a_{3}&{}+{}{\text{etc.}}{}={}&a.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76facd0977183c9ba2df220ad581ce135a83184)
Soit
la probabilité d’extraire une boule blanche de cette urne ; elle devra être égale à
; ce qui fournira simplement une vérification de la règle du numéro précédent. Une boule blanche pourra sortir du premier groupe ; et pour cela, la chance sera le produit de la probabilité
que la main se portera sur ce groupe, et de la chance
qu’elle