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comme un événement composé, que j’appellerai F′ ; en désignant par $q'$ sa probabilité, on aura

$q'=q+r+{\text{etc.}}$,$p+q'=1$ ;

E et F′ seront alors deux événements contraires, dont un seul aura lieu à chaque épreuve ; par conséquent, la probabilité que E arrivera au moins $m$ fois, dans une série de $\mu$ épreuves, s’obtiendra en mettant $q'$ au lieu de $q$ dans l’expression de $\mathrm {P}$.

Pour donner un exemple de cette règle fondée sur le développement de la puissance d’un polynome, je suppose qu’une urne A renferme un nombre $m$ de boules portant les n^os 1, 2, 3,… $m$ ; on tire $\mu$ fois de suite une boule de cette urne, en y remettant à chaque fois la boule sortie ; la chance, à chaque tirage, de l’arrivée d’une boule portant un numéro déterminé, est la même pour toutes les boules, constante pendant les épreuves, et égale à ${\tfrac {1}{m}}$ ; cela étant, désignons par $n_{1},\,n_{2},\,n_{3},\ldots ,\,n_{m}$, des nombres donnés qui peuvent être zéro, égaux, inégaux, pourvu qu’on ait toujours

$n_{1}+n_{2}+n_{3}\ldots +n_{m}=\mu$ ;

et soit $\mathrm {U}$ la probabilité qu’on amènera, dans un ordre quelconque, $n_{1}$ fois le n^o 1, $n_{2}$ fois le n^o 2,… $n_{m}$ fois le n^o $m$ : si l’on fait

$(t_{1}+t_{2}+t_{3}\ldots +t_{m})^{\mu }=\theta$,

et que l’on développe $\theta$ suivant les puissances et les produits des indéterminées $t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\ldots ,\,t_{m}$, la valeur de $\mathrm {U}$ sera le terme de ce développement, contenant le produit ${{t_{1}}^{n_{1}}{t_{2}}^{n_{2}}{t_{3}}^{n_{3}}\ldots {t_{m}}^{n_{m}}}$, dans lequel on fera toutes ces indéterminées égales à ${\tfrac {1}{m}}$. En représentant par $\mathrm {N}$ le coefficient numérique de ce produit, nous aurons donc

$\mathrm {U} ={\frac {1}{m^{\mu }}}\mathrm {N}$ ;

$\mathrm {N}$ étant un nombre entier, qui dépendra de $\mu$ et des nombres $n_{1},\,n_{2},\,n_{3},\ldots ,\,n_{m}$, savoir,

$\mathrm {N} ={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n_{1}\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n_{2}\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n_{m}}}$,