C’est de ce résultat et aussi, ajoutons-le, d’un célèbre théorème que l’on doit à M. Picard, que sont sorties toute la théorie des fonctions entières telles qu’elle s’est développée dans le cours de ces dernières années, et même les recherches consacrées depuis aux fonctions méromorphes.
La théorie des fonctions non uniformes fut tirée du néant grâce à un théorème d’une démonstration beaucoup plus délicate encore que le précédent.
Une fonction analytique quelconque (par conséquent, non uniforme en général) :
étant donnée, on peut exprimer x en fonction uniforme d’une variable auxiliaire t, de manière que z soit aussi une fonction uniforme de t. La conclusion s’étend même à un nombre quelconque de fonctions d’une même variable.
La théorie des fonctions non uniformes est ainsi ramenée à celle des fonctions uniformes.
Un tel fait ne pouvait manquer de s’imposer à un Poincaré après la découverte des fonctions fuchsiennes. Celles-ci, nous l’avons vu, le mettaient en évidence, et fournissaient la variable auxiliaire cherchée, en ce qui regarde les fonctions algébriques. Il y a plus, elles permettent de le démontrer, sinon dans le cas général, du moins dans des cas très étendus, de sorte que, fait qui n’est d’ailleurs nullement isolé en mathématiques, le cas particulier permet ici de dominer le cas général.
Mais si l’on veut ne faire aucune restriction relativement aux points singuliers, d’autres moyens d’action sont nécessaires.
Ici (comme déjà d’ailleurs pour les fonctions fuchsiennes) ce sont les principes mêmes sur lesquels Riemann avait fondé la théorie des fonctions abéliennes qui s’élargissent entre les mains de Poincaré, et acquièrent l’ampleur nouvelle que la question comporte. D’une part, tout le calcul va reposer sur la formation d’un domaine géométrique, la surface de Riemann, par lequel on peut se représenter la variation simultanée de z et de x. En second lieu, un élément physico-mathématique, la théorie du potentiel, joue dans ce calcul le rôle principal. Mais son maniement exige une puissance d’analyse nouvelle, en raison de la complication de la surface de Riemann qui est ici à une infinité de feuillets.
