G. lechalas. De V infini mathématique. "471 i La généralisation arithmétique a été admirablement exposée par M. Jules Tannery dans son Introduction à la théorie des fonctions d’une variable ; mais qui n’a regretté qu’il ait cru devoir abréger son ̃ œuvre en supposant acquise la notion-de nombre fractionnaire, fondée sur la seule idée de nombre entier ? en pareille matière, c’est la [première généralisation qui soulève les questions fondamentales, et c’est sur elle qu’il convient de faire porter la discussion la plus approfondie. M. Couturat a donc rendu le plus signalé service à tous ceux qui désirent s’initier à la philosophie des sciences mathématiques. Comme il l’indique, du reste, lui-même, il s’est grandement servi de l’oeuvre de M. Tannery, complétée par son enseignement.
La généralisation de l’idée de nombre comprend les théories des nombres fractionnaires, des nombres qualifiés, des nombres imaginaires et. enfin des nombres irrationnels et-des limites, sans parler du nombre infini, raison d’être de toute cette étude, si intéressante parelle-méme.
Une fraction est l’ensemble de deux nombres entiers rangés dans un ordre déterminé et dont le second n’est pas nul. Deux fractions (a, b), (a’, b’) sont dites égales si ab’ = ba’ ; on voit du reste aisément que cette définition satisfait l’axiome d’après lequel deux grandeurs égales à une même troisième sont égales entre elles. L’addition et la soustraction se définissent par des règles de calcul qui conservent les propriétés de ces opérations portant sur des nombres entiers et comprennent les règles de ces dernières comme cas particuliers. On a ainsi, par définition (a, b) -+̃ (c, d) = (ad, bd) ̃+- (bc, bd) = (ad -h bc, bd) et
(a, b) X (c, d) = (ac, bd).
b
Le module de l’addition, c’est-à-dire le nombre qui, combiné avec un autre, n’en change pas la valeur, est 0, car on a, quel que soit A A -t- 0 == A. Le zéro fractionnaire, qui jouit de la même propriété, est (0, d), car on a (a, b) -+- (0, d) = (ad, bd) = : (a, b). On trouve aussi que le module de la multiplication est la fraction (1, 1), et l’on montre qu’on peut identifier les fractions de dénominateur i (c’est-à-dire ayant 1 pour second terme) avec les entiers qu’elles ont pour numérateur.
Lorsque deux fractions ne sont pas égales, il existe une fraction
