G. lkchai.as. – De l’infini mathématique. 413 3 si a < b, on a
(a, b’ = (0, b a).
On appelle positif tout couple qui, ramené à avoir un terme nul, a celui-ci pour second terme ; il est négatif si le terme nul est le premier. Ces qualifications se justifient en montrant que les couples négatifs sont plus petits et les couples positifs plus grands que le zéro algébrique d’après les définitions précédentes. Sans entrer dans de plus longs développements, nous voyons que tout couple( a, b) est la somme algébrique du nombre positif (a, 0) et du nombre négatif (0, b) ; mais ce couple est aussi la différence des deux nombres positifs (a, 0) et (b, 0)^ quels que soient a et b, ce qui montre que deux nombres positifs, auxquels^ on assimile les nombres arithmétiques, ont toujours une différence. La notion de couple constitue donc une extension de celle de différence, de même que la notion de fraction constitue une extension de celle de quotient.
Un nombre imaginaire est, lui aussi, l’ensemble de deux nombres rangés dans un ordre déterminé ; profitant des généralisations déjà faites, et même de celle des nombres irrationnels, on peut prendre deux nombres réels quelconques. Par définition, (a, b) = (a1, b’) si a = a’, b = b’
l’addition se définit à son tour par l’égalité (a, b) 4- (a’, b1) = (a H- a’, b b’).
On voit de suite que le zéro imaginaire (0, 0) est le module de l’addition. La multiplication est définie par l’égalité (a, b) X (a’, b’) = {aa’ – bb’, ab’ -+- ba’) Le produit d’un nombre quelconque par le zéro imaginaire est nul. On a encore
(a, b)X(a’,0) = (aa1, ba’) : ·
c’est le produit de (a, b) par le nombre réel a’ ; on peut donc considérer un nombre imaginaire dont le second terme est .nul comme identique au nombre réel qui forme son premier terme. On voit aussi que le module de la multiplication est l’imaginaire (1, 0), assimilable à l’entier -4-1.
