4"16 6 REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET Dr MORALE. « Toutes les fois au’on a un moven défini fle ciSnnrop lo ïnt,tttA , !““ « Toutes les fois qu’on a un moyen défini de séparer la totalité des nombres rationnels en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre de la seconde classe, telles en outre qu’il n’y ait pas dans la première classe un nombre plus grand que les autres nombres de la même classe, et, dans la seconde classe, un nombre plus petit que les autres nombres de la même classe, on convient de dire qu’on a défini un nombre irrationnel. »
On remarquera que tout nombre rationnel peut servir à opérer un semblable partage, à cela près que les deux classes séparées ne le comprennent pas et par suite ne comprennent pas la totalité des nombres rationnels.
Deux, nombres irrationnels sont naturellement dits égaux quand les deux modes de décomposition de l’ensemble des nombres rationnels qui les définissent sont identiques. Leur inégalité ne présente non plus aucune difficulté.
Deux nombres quelconques, rationnels. ou irrationnels, étant séparés par une infinité de nombres rationnels, deux nombres quelconques qui peuvent être compris entre deux nombres rationnels dont la différence est moindre que le nombre rationnel s, quel’ que soit ce nombre s, sont égaux.
L’extension des opérations aux nombres irrationnels ne présente aucune difficulté particulière. Mais la définition même du nombre irrationnel peut être présentée sous une forme plus pratique, bien que, peut-être, moins satisfaisante on le considère alors comme la limite d’une suite infinie de nombres rationnels. On montre d’ailleurs aisément que les deux définitions sont équivalentes. III
Généralisation algébrique DU nombre.
M. Couturat fait précéder cette généralisation d’une critique de la généralisation arithmétique, de même qu’il fait, plus tard, précéder la généralisation géométrique d’une critique de la généralisation algébrique. Nous préférons grouper la discussion de la valeur philosophique des trois généralisations et nous borner d’abord à un simple exposé de leur idée fondamentale.
L’équation du premier degré b + œ = a, où a et sont des entiers t
