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478 REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

On arrive ainsi à doter d’une racine rationnelle unique toute équation du premier degré à coefficients rationnels. Il y a pourtant une exception si b = 0, on a x = |, et si a lui-même est nul ce sont des symboles vides de sens. Ainsi parle-t-on d’ordinaire ; mais ce langage est fort contestable. Au point de vue de la généralisation arithmétique, une fraction n’étant que l’ensemble de deux nombres ` entiers rangés dans un ordre déterminé, zéro doit pouvoir y figurer aussi bien au second rang qu’au premier. Peu importe d’ailleurs que la division d’un entier par zéro soit impossible, car celle de 2 par 3 l’est aussi, et l’on a généralisé précisément la notion de quotient au 2

moyen de la fraction pourquoi ne le ferait-on pas au moyen de ia fraction y ? On a bien identifié à zéro toutes les fractions on trou-, H

vera de même que toute fraction est infinie. Il ne parait pas nécessaire d’insister sur la t, 0

saire d’insister sur la fraction |r.

L’équation du second degré peut se ramener à l’équation binôme œ2 = k. Si est carré parfait, on en conclut a : = ± i/ ; s’il ne l’est pas, tout en étant positif, on convient de dire que ce sont encore là des racines de l’équation, et d’écrire par suite (i/â) ! = k. On crée ainsi un nouveau nombre, dit nombre irrationnel, qui est le même que celui de la généralisation arithmétique. Mais ici on l’obtient plus immédiatement avec ses règles de calcul, puisqu’il est posé comme ° généralisation de la racine arithmétique, tandis que l’autre méthode obligeait de définir une à une toutes les propriétés des nouveaux nombres pour pouvoir conclure que le carré de i/3 est 3 et pour pouvoir soumettre’ ces nombres aux opérations ordinaires. En revanche, la définition actuelle est moins complète que celle qu’on avait fondée sur la notion de coupure, car elle ne définit qu’une partie (et une très faible partie) des nombres irrationnels. Si, dans l’équation œ- k = 0, A- est négatif, v’h est symbole d’impossibilité. On convient toutefois d’appliquer à cette écriture les règles du calcul des radicaux. Remplaçant k par – a2, on a = db V – ai = ± VyaH– 1) = ± a

On traite ]/ – comme un coefficient numérique dont le carré se