Nous pouvons donc prendre comme « groupe normal » au lieu de , un groupe quelconque isomorphe à .
Parmi tous les groupes isomorphes à , quel est celui que nous choisirons ?
Nous connaissons les propriétés du groupe , puisque, comme je l’ai dit plus haut, la notion de ce groupe préexiste dans l’esprit. Nous savons qu’il contient trois sous-groupes différents ou plutôt trois catégories de sous-groupes.
1o Les sous-groupes , qui sont d’ordre 3.
2o Les sous-groupes , qui sont d’ordre 2.
3o Les sous-groupes , qui sont d’ordre 1.
À chaque substitution de , correspond 1o une substitution , qui change chaque sous-groupe en un autre sous-groupe ; 2o une substitution qui change chaque sous-groupe , en un autre sousgroupe ; 3o une substitution qui change chaque sous-groupe en un autre sous-groupe .
Les substitutions , forment un groupe ; les substitutions un groupe ; les substitutions un groupe . Tous ces groupes sont isomorphes à .
Le groupe , a trois dimensions, le groupe en a quatre, le groupe en a cinq.
Si l’on choisit comme groupe normal, le sous-groupe , conserve un point ; le sous-groupe conserve une ligne (c’est cette ligne qu’on appelle ligne droite par définition) le sous-groupe conserve tous les points d’une ligne.
Si l’on choisit comme groupe normal, le sous-groupe conserve un point, le sous-groupe conserve une surface à deux dimensions et le sous-groupe conserve un point et une infinité de surfaces à deux dimensions passant par ce point. (Observons en passant que l’espace correspondant à , a quatre dimensions, et par conséquent que deux de ces surfaces se coupent, non suivant une ligne, mais en un seul point.)
Si l’on choisit comme groupe normal, le sous-groupe conserve un point, le sous-groupe conserve une surface à deux dimensions et le sous-groupe conserve une ligne.
Cela posé, la question de M. Couturat :
« Pourquoi dit-on que les diverses positions ont un point commun plutôt qu’une ligne commune ? »
équivaut à la suivante :