Mais ce n’est là qu’une pétition de principe, puisqu’on ne fait que répéter la même chose en d’autres termes. Le principe de libre mobilité n’est que le principe de relativité sous une autre forme. Que vous adoptiez une forme ou une autre, vous n’avez pas le droit d’y mettre ce qui n’y est pas.
Ce qui est nécessaire pour que l’expérience soit possible et pour que la mesure soit possible, c’est le principe de relativité entendu dans ce sens que certaines choses ne doivent pas être distinctes les unes des autres ; mais non pas ce même principe entendu dans ce sens plus précis que telles ou telles choses ne doivent pas être distinctes les unes des autres. Cela est très différent. Nous avons vu plus haut, du reste, que dès qu’on veut préciser, ce principe n’a pas le même sens en géométrie projective et en géométrie métrique.
Le nombre des degrés de liberté pourrait donc être différent de six sans que la mesure spatiale devînt impossible.
Supposons, par exemple, que l’on puisse transporter une figure de façon qu’un de ses points vienne en un point quelconque de l’espace, mais que, si on fixe ce point, la figure ne puisse plus bouger. Il n’y aura plus ainsi que trois degrés de liberté. La mesure sera-t-elle encore possible ? On voit aisément qu’on ne peut plus comparer en général les longueurs, les surfaces et les angles ; mais la mesure des volumes reste encore possible. On n’a donc pas le droit de dire qu’avec une pareille hypothèse la « mesure spatiale » (si on conserve ce terme vague) ne peut plus se faire.
Le principe de libre mobilité doit s’énoncer ainsi dans le langage mathématique il y a un groupe de transformations qui conserve certaines propriétés des figures, et l’ensemble de ces propriétés constitue ce que nous appelons leur forme. Il nous conduit donc à la même conclusion que notre premier axiome arithmétique.
Seulement ce principe (entendu dans le sens où l’on peut dire qu’il est a priori) ne nous apprend rien sur ce groupe. Il ne s’opposerait pas à ce que ce groupe pût être choisi arbitrairement, avec une seule restriction il faut qu’en ce qui concerne les choses qu’on veut pouvoir mesurer, le tout ne puisse être égal à la partie ; un groupe ne pourrait donc être choisi pour définir l’égalité si une de ses transformations changeait une figure en une partie de cette même figure.
Il y a encore une condition dont M. Russell ne parle pas, sans doute parce qu’elle lui semble, à tort selon moi, trop évidente pour qu’il y ait lieu d’en parler.
