et l’on s’assure en tous cas l’avantage de ne jamais être arrêté dans les transformations analytiques par l’impossibilité d’extraire la racine d’une quantité positive.
5. Une valeur imaginaire est la simple association, dans un ordre déterminé, de deux valeurs infinitésimales que l’on nomme respectivement son premier et son second élément. Sans entrer dans le détail des régies conventionnelles qui président au calcul des imaginaires, nous nous bornerons à en signaler cette conséquence, que si l’on a à effectuer sur des nombres infinitésimaux donnés une suite quelconque d’opérations (toutes possibles), le nombre infinitésimal qui en résulte finalement peut être obtenu à l’aide d’un artifice consistant : 1o à se transporter du monde des valeurs infinitésimales dans le monde des valeurs imaginaires, et à substituer aux nombres donnés des valeurs imaginaires ayant pour premiers éléments les nombres dont il s’agit avec des seconds éléments téléo-neutres ; 2o à effectuer, au lieu des calculs indiqués sur les nombres primitifs, les calculs parallèles sur les imaginaires ainsi obtenues ; 3o à prendre le premier élément de l’imaginaire résultante.
Toute question ressortissant au monde des valeurs infinitésimales peut donc se ramener à une question ressortissant au monde des valeurs imaginaires ; la plupart du temps, elle se trouve ainsi généralisée, et l’on s’assure en tous cas l’avantage de ne jamais être arrêté dans les transformations analytiques par l’impossibilité de décomposer un polynôme entier à une variable en facteurs du premier degré.
6. Il conviendrait peut-être de nommer Analyse infinitésimale l’ensemble des théories ressortissant au monde des valeurs infinitésimales ou de leurs accouplements en imaginaires ; cette partie de l’Analyse comprendrait alors essentiellement, outre le calcul différentiel et intégral, un certain nombre de théories élémentaires, telles que le calcul des radicaux arithmétiques ou la résolution de l’équation du second degré. Conformément aux observations finales des nos 2, 3, 4, 5, rien n’empêche de recourir à des moyens tirés de l’Analyse infinitésimale pour traiter une question analytique dont l’objet même ne ressortirait pas au monde infinitésimal.
Après avoir montré, suivant notre dessein, comment les théories analytiques sont basées sur la seule notion du nombre entier, il nous reste à rechercher la véritable nature des Sciences mathématiques appliquées ; quelques exemples, pris parmi les plus simples, suffiront à nous éclairer sur ce point.
