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Enfin, le rectangle construit sur le couple (6) a pour base un segment moindre que l’unité de longueur, et pour hauteur la m^ième partie de cette unité ; il finit donc par devenir physiquement nul. On en déduit immédiatement la proposition à démontrer.

Si, au lieu d’un seul rectangle, on en considérait un nombre quelconque, trois par exemple, respectivement construits sur les couples de valeurs téléo-positives A et B, C et D, E et F, leur ensemble équivaudrait à un rectangle unique construit sur les valeurs 1 et A . B + C . D + E . F.

10. Désignons maintenant par A, B, C trois valeurs téléo-positives vérifiant la relation

${\text{A}}^{2}+{\text{B}}^{2}={\text{C}}^{2}$

et par σ_A, σ_B, σ_C les segments rectilignes, supposés perceptibles, qui correspondent physiquement à ces trois nombres. Il résulte du numéro précédent que le carré construit sur σ_C équivaut à l’ensemble des carrés construits sur σ_A, σ_B : car ces deux surfaces équivalent à un même rectangle ayant pour base l’unité de longueur, et pour hauteur le segment rectiligne qui correspond à la valeur infinitésimale $\scriptstyle {\text{A}}^{2}+{\text{B}}^{2}$ ou $\scriptstyle {\text{C}}^{2}$. Considérant d’autre part le triangle rectangle qui a pour côtés de l’angle droit σ_A, σ_B, et construisant un carré sur chacun de ces côtés et l’hypoténuse, on démontre de la manière la plus simple que le dernier carré équivaut à l’ensemble des deux premiers, et par suite au carré construit sur σ_C. On ne fera d’ailleurs aucune difficulté d’admettre que deux carrés équivalents doivent avoir le même côté. On observera enfin que tous nos raisonnements sont indépendants du choix de l’unité de longueur, sous la réserve expresse que les segments σ_A, σ_B, σ_C, restent perceptibles, et l’énoncé de la célèbre proposition pourra dès lors se formuler comme il suit :

Si trois valeurs infinitésimales A, B, C, vérifient la relation $\scriptstyle {\text{A}}^{2}+{\text{B}}^{2}={\text{C}}^{2}$, les segments rectilignes, supposés perceptibles, qui en sont les traductions physiques, nous paraissent, quelle que soit d’ailleurs l’unité, respectivement superposables aux deux côtés de l’angle droit et à l’hypoténuse de quelque triangle rectangle.

11. Il importe, en vue de ce qui va suivre, de fixer avec la dernière précision le sens analytique du mot limite, comme aussi d’en traduire physiquement la définition.

Nous nommerons à cet effet variante infinitésimale une expression de tous points semblable à une variante qualifiée, si ce n’est qu’à