Il me reste quelques remarques à faire.
Je ne me suis préoccupé jusqu’ici que de l’ordre dans lequel nos termes sont rangés. Mais cela ne suffit pas pour la plupart des applications. Il faut apprendre à comparer l’intervalle qui sépare deux termes quelconques à celui qui sépare deux autres termes quelconques. C’est à cette condition seulement que le continu devient une grandeur mesurable et qu’on peut lui appliquer les opérations de l’arithmétique. (Voir la note au bas de la page 27.)
Cela ne peut se faire qu’à l’aide d’une convention nouvelle et spéciale. On conviendra que dans tel cas l’intervalle compris entre les termes A et B est égal à l’intervalle qui sépare C et D. Par exemple, au début de notre travail, nous sommes partis de l’échelle des nombres entiers et nous avons supposé que l’on intercalait entre deux échelons consécutifs n échelons intermédiaires ; eh bien, ces échelons nouveaux seront par convention regardés comme équidistants.
Je ne veux pas ici traiter cette question en détail ; cela m’entraînerait trop loin de mon sujet ; ce nouvel attribut que l’on ajoute ainsi au concept du continu mathématique n’en fait pas en effet partie essentielle.
Je me bornerai donc à renvoyer à une œuvre magistrale de von Helmholtz ; je veux parler de sa Jubelschrift écrite en l’honneur d’Édouard Zeller et intitulée Zählen und Messen.
Nous pouvons nous poser plusieurs questions importantes :
1o La puissance créatrice de l’esprit est-elle épuisée par la création du continu mathématique ?
Non : les travaux de Du Bois-Reymond le démontrent d’une manière frappante.
On sait que les mathématiciens distinguent des infiniment petits de différents ordres et que ceux du deuxième ordre sont infiniment petits, non seulement d’une manière absolue, mais encore par rapport à ceux du premier ordre. Il n’est pas difficile d’imaginer des infiniment petits d’ordre fractionnaire ou même irrationnel, et nous retrouvons ainsi cette échelle du continu mathématique qui a fait l’objet des pages qui précèdent.
Mais il y a plus ; il existe des infiniment petits qui sont infiniment petits par rapport à ceux du premier ordre, et infiniment grands, au
