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H. POINCARÉ. — LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE.

Viennent ensuite les définitions de l’addition et de la multiplication. Si deux classes n’ont aucun élément commun, la somme des nombres cardinaux de ces deux classes sera le nombre cardinal de leur somme logique. Soient maintenant $\phi (x)$ et $\psi (y)$ deux fonctions prépositionnelles définissant deux classes ; alors le produit logique de ces deux propositions [ $\phi (x)$ et $\psi (y)$ ] pourra être regardé comme une fonction propositionnelle où la variable est représentée par le couple $x,y$ ; cette fonction propositionnelle définit alors une classe ; et, si les deux variables sont indépendantes, le nombre cardinal de cette classe est le produit des nombres cardinaux des deux classes $\phi (x)$ et $\psi (y)$

Je n’examinerai pas ici la question de savoir si la notion de l’indépendance des deux variables esl susceptible de définition. Nous pouvons l’admettre.

L’addition et la multiplication arithmétiques se déduisent ainsi de L’addition et de la multiplication logiques, et si les opérations, symbolisées par les signes $+$ et $\times$, satisfont aux lois commutative, associative et distributive, c’est tout simplement parce qu’il en est ainsi de l’addition et de la multiplication Logiques, caractérisées par les signes ou et et.

XIV

Ces définitions et ces démonstrations présentent un avantage important, elles s’appliquent aux nombres cardinaux infinis aussi bien qu’aux nombres cardinaux finis. Ce sont d’ailleurs les démonstrations mêmes de Cantor. Ce sont également, à y remanier de près, celles qu’on trouve dans les traités élémentaires d’arithmétique. Et cependant, quand j’ai étudié autrefois cette question dans mon article Sur la Nature du Raisonnement mathématique, j’avais cru devoir les rejeter ou tout au moins les laisser de côté.

Pourquoi cela ? parce qu’elles me semblaient exiger un appel trop direct et trop évident à l’intuition. Aujourd’hui elles nous reviennent et elles sont envisagées comme le type de la démonstration purement logique ; qu’y a-t-il donc de changé en elles ?

Pourquoi ce jugement synthétique qui nous semblait nécessaire a-t-il cessé de l’être ? Tout simplement, parce qu’on l’a déjà fait une fois, dans le chapitre intitulé Logique, et qu’il est inutile de le recommencer.