C’est d’abord que M. Couturat a suivi M. Russell pas à pas ; mais il reste à expliquer ce qui est arrivé à M. Russell. Peut-être trouverons-nous cette explication dans un autre de ses écrits. « The principle of mathematical induction, dit-il quelque part (Mind, juillet 1905), says not merely that the addition of 1 will always give a number, but that every natural number can be obtained by such additions starting from 0. » Mais ce n’est pas cela du tout, le principe d’induction ne signifie pas que tout nombre entier peut être obtenu par additions successives ; il signifie que pour tous les nombres que l’on peut obtenir par additions successives, on peut démontrer une propriété quelconque par voie de récurrence.
Un nombre peut être défini par récurrence ; sur ce nombre on peut raisonner par récurrence ; ce sont deux propositions distinctes. Le principe d’induction ne nous apprend pas que la première est vraie, il nous apprend que la première implique la seconde.
Voilà la confusion qu’a faite M. Russell, et voilà qui explique comment il a pu sans s’en apercevoir avancer une définition qu’il était incapable de justitier en démontrant qu’elle était exempte de contradiction.
