précédents ». J’en ai cité deux dans mon article et qui étaient empruntés à la brochure de M. Hilbert. Il n’est pas le seul à en avoir fait usage et ceux qui ne l’ont pas fait ont eu tort. Ce que j’ai reproché à M. Hilbert, ce n’est pas d’y avoir eu recours (un mathématicien de race comme lui ne pouvait pas ne pas voir qu’il fallait une démonstration et que celle-là était la seule possible), mais d’y avoir eu recours sans y reconnaître le raisonnement par récurrence.
Je suis obligé d’insister sur ce procédé de raisonnement. Et en effet M. Couturat prétend qu’il est fondé non sur l’induction mathématique, mais sur l’induction ordinaire ; cela prouve évidemment qu’il n’y a rien compris du tout. C’est certainement ma faute et mon exposé manquait sans doute de clarté ; il faut donc que je le recommence et pour plus de simplicité, je vais reprendre le premier raisonnement de Hilbert en insistant sur les détails.
Hilbert pose les trois axiomes suivants, pour définir l’égalité :
et il veut démontrer qu’ils ne sont pas contradictoires, pour cela il démontre que si loin qu’on en pousse les conséquences, on n’obtiendra jamais que des identités. Supposons en effet qu’on en ait déjà tiré un certain nombre d’équations et que ces équations soient toutes des identités ; nous appliquons une fois de plus à ces équations l’une des trois règles déduites de ces trois axiomes, je dis que les équations nouvelles ainsi obtenues seront encore toutes des identités.
Pour la première, il est inutile d’insister ; appliquons la seconde à deux équations quelconques, préalablement obtenues :
Si ces équations sont des identités, comme nous le supposons, elles se réduiront à :
