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H. POINCARÉ. — nature du raisonnement mathématique.

« Cette propriété (que $4\times 6=6\times 4$) ne peut se démontrer à notre connaissance que par l’intervention des pluralités (c’est-à-dire, d’après M. Ballue, par un appel à l’expérience). Qu’on se rappelle la figure ci-jointe (formée de 6 lignes de 4 points chacune) qui se trouve dans tous les traités d’arithmétique. »

Il y a une démonstration plus satisfaisante mais peu connue, et c’est pourquoi je crois devoir reproduire ici, au risque d’être fastidieux, les démonstrations rigoureuses des propriétés fondamentales de l’addition et de la multiplication.

Définition de l’Addition.

Je suppose qu’on ait défini préalablement l’opération $x+1$ qui consiste à ajouter le nombre $1$ à un nombre donné $x$.

Cette définition, quelle qu’elle soit d’ailleurs, ne jouera plus aucun rôle dans la suite des raisonnements.

Il s’agit maintenant de définir l’opération $x+a$ qui consiste à ajouter le nombre $a$ à un nombre donné $x$.

Supposons que l’on ait défini l’opération $x+(a-1)$, l’opération $x+a$ sera définie par l’égalité :

(1)$x+a=[x+(a-1)]+1$.

Nous saurons donc ce que c’est que $x+a$ quand nous saurons ce que c’est que $x+(a-1)$ et comme j’ai supposé au début que l’on savait ce que c’est que $x+1$ on pourra définir successivement et « par récurrence » les opérations $x+2$, $x+3$, etc.

Cette définition mérite un moment d’attention, elle est d’une nature particulière qui la distingue déjà de la définition purement logique ; l’égalité (1) contient en effet une infinité de définitions distinctes, chacune d’elles n’ayant un sens que quand on connaît celle qui la précède.

Propriétés de l’Addition.

Associativité.

Je dis que

$a+(b+c)=(a+b)+c$.

En effet le théorème est vrai pour $c=1$ ; il s’écrit alors :

$a+(b+1)=(a+b)+1$.

ce qui n’est autre chose, à la différence des notations près, que l’égalité (1) par laquelle je viens de définir l’addition.