analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d’antre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie.
Pourquoi donc ce jugement s’impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence ? C’est qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible. L’esprit a de cette puissance une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et parla d’en prendre conscience.
Mais, dira-t-on, si l’expérience brute ne peut légitimer le raisonnement par récurrence, en est-il de même de l’expérience aidée de l’induction ? Nous voyons successivement qu’un théorème est vrai du nombre 1. du nombre 2, du nombre 3 et ainsi de suite ; « la loi est manifeste », disons-nous, et elle l’est au même titre que toute loi physique appuyée sur des observations dont le nombre est très grand, mais limité.
On ne saurait méconnaître qu’il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l’induction. Mais une différence essentielle subsiste. L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-à-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même.
Les mathématiciens, je l’ai dit plus haut, s’efforcent toujours de « généraliser » les propositions qu’ils ont obtenues, et pour ne pas chercher d’autre exemple, nous avons tout à l’heure démontré l’égalité :
,
et nous nous en sommes servis ensuite pour établir l’égalité :
,
qui est manifestement plus générale.
Les mathématiques peuvent donc comme les autres sciences procéder du particulier au général.
Il y a là un fait qui nous aurait paru incompréhensible au début
