Si les termes sont égaux, si l’on a : a + a + a +…, on convient de mettre devant ce terme un coefficient représentant le nombre de fois qu’il est répété ; on écrit donc : a + a + a +… = Na. De là, par extension du moment que N, au lieu d’être un nombre, est une quantité, une nouvelle opération et de nouvelles espèces de quantités.
Multiplication, a X b X c X… = a X b X c X… = abc…
Si les facteurs sont égaux, si l’on a : a X a X a X…, on convient de mettre au dessus de a à droite un exposant désignant le nombre de fois que a est pris comme facteur ; on écrit donc : a x a X a x… = aN. De là, par extension, du moment que N, au lieu d’être un nombre est une quantité, une nouvelle opération et de nouvelles espèces de quantités.
Élévation aux puissances. Le symbole général de l’élévation aux puissances est ab. Mais b peut être lui-même élevé à la puissance c, et c, à son tour élevé à une autre puissance, de manière que l’on aura une formule telle que aab…
Si, a, b, c… sont égaux, on peut convenir de représenter, une pareille expression, par exemple, par Na ; et de là, si N, au lieu d’être un nombre, est une quantité, on obtient par extension de nouvelles espèces de quantités.
On pourrait de même, en poursuivant le même procédé, représenter cba par Na, et obtenir ainsi de nouvelles espèces de quantités, et toujours de nouvelles espèces de quantités à l’infini.
Cependant l’arithmétique et l’algèbre arrêtent généralement la composition des nombres ou des quantités après l’élévation aux puissances, et de cette façon on limite à sept le nombre des opérations. Ce fait a sa raison d’être dans cette circonstance capitale que l’on ne peut poser ab = ba, tandis que l’on a : ab = ba, et a + b = b + a. Ce n’est pas ici le lieu de m’étendre sur ce point ; il me suffit de le signaler aux méditations des mathématiciens.
Ici vient se placer une remarque qui est pour notre objet de la dernière importance. On dit souvent que l’algèbre ne fait que généraliser les opérations de l’arithmétique. Cette assertion est en partie fausse. Les opérations arithmétiques sont des cas particuliers des opérations algébriques, en d’autres termes, celles-ci sont des extensions de celles-là. Arithmétiquement parlant, on ne peut, pour me servir d’un exemple vulgaire, additionner une pomme et une poire, tandis qu’en algèbre la chose n’offre aucune difficulté. Il n’est pas, autrement dit, nécessaire que a et b soient de même nature pour que a + b = a + b, bien que, en pratique, les formules algébriques se ramènent toujours à des formules arithmétiques. De même,
