inserviens, ac res homogeneas, quarum rationes vel proportiones considerantur, concernens. Dicimus autem rationem inter se habere duas res, cum homogenæ seu ejusdem naturæ existentes, aut æquales sunt, aut inæquales, et minor per sui ipsius continuam additionem, tandem major evadit, majoremque superans. Adeo ut hæc scientia non solum algebram numerosam atque veterem analysin geometricam comprehendat, sed etiam omne id, quod relationem quamdam habet aut proportionem, ut refert des Cartes, in sua de Methodo dissertatione[1] ». Et plus tard, lorsqu’en 1639 Prestet publie dans ses Nouveaux éléments des mathématiques, ou principes généraux de toutes les sciences qui ont les grandeurs pour objet, un corps d’analyse, il fait gloire à Descartes d’avoir le premier constitué sur des principes généraux « cet art d’inventer ce qu’on veut sur toute sorte de grandeurs[2]. »
Le but de Descartes est évident. Comment l’a-t-il atteint ? Par une double voie, en réformant l’algèbre et en l’unissant à la géométrie. On a déjà vu ce qu’il trouvait à reprendre dans l’algèbre des modernes. Par l’abus des chiffres et des figures inexplicables, on en avait fait à son sens « un art confus qui embarrasse l’esprit, au lieu d’une science qui le cultive[3]. » Descartes s’appliqua à lui donner « cette clarté et cette facilité suprême que nous supposons devoir se trouver dans les vraies mathématiques[4] ». Il y parvint grâce à une notation nouvelle des grandeurs : « Tout ce qu’il faudra regarder comme l’unité pour la solution de la question, nous le désignerons par un signe unique que l’on peut représenter ad libitum ; mais, pour plus de facilité, nous nous servirons de lettres minuscules, a, b, c, etc., pour exprimer les grandeurs déjà connues, et de majuscules, A, B, G, etc., pour exprimer les grandeurs inconnues, et souvent nous placerons les chiffres 1, 2, 3, 4, etc., soit en tête de ces signes, pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite, pour exprimer le nombre des relations qu’elles contiennent[5]. » Et, par nombre des relations, Descartes entend les puissances d’une même quantité, « les proportions qui se suivent en ordre continu, proportions que dans l’algèbre ordinaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs ligures, et dont on nomme la première, racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième double carré[6]. »
