Voilà l’idée du nombre qui sert de base à l’arithmétique ; mais ce n’est là que le nombre entier et il faut encore définir le nombre fractionnaire obtenu en subdivisant un objet : on peut évidemment diviser un arbre en trois parties, par exemple ; mais cela ne saurait servir de base à une définition scientifique ; cette opération est en effet beaucoup trop vague, d’abord parce que la subdivision peut se faire de bien des manières et ensuite parce que les parties de l’arbre ne sont pas comparables entre elles.
Il n’en est plus de même lorsqu’on subdivise un angle en deux parties égales ; pour un objet de ce genre la division n’est en effet possible que d’une seule façon et les deux parties sont identiques entre elles.
Ainsi la subdivision n’a de sens précis qu’autant qu’elle porte sur un objet remplissant certaines conditions de forme ; le nombre fractionnaire, qui résulte de la subdivision, nous apparaît ainsi comme lié à un fait géométrique ; en un mot le nombre fractionnaire suppose la notion de forme.
Certains auteurs définissent encore la série des nombres entiers et fractionnaires en associant respectivement ces nombres aux divers états d’une grandeur variable ; mais alors il faut définir d’abord une grandeur. On dit à cet égard : une grandeur est ce qui est susceptible d’accroissement et de diminution ; mais ici encore on se heurte aux mêmes objections que précédemment : si l’objet considéré est quelconque, un arbre par exemple, l’idée d’accroissement ou de diminution est trop vague pour être accueillie en mathématiques, mais cette indétermination disparaît lorsque l’objet remplit certaines conditions de forme comme un angle ; on conçoit en effet très nettement qu’un angle diminue ou augmente.
Donc, quel que soit le point de vue auquel on se place, la conception du nombre fractionnaire ne paraît guère possible sans l’intervention d’un fait géométrique ; comme d’ailleurs le nombre entier n’est qu’un cas particulier du nombre fractionnaire, on prévoit dès maintenant que le nombre, dans son acception la plus générale, peut être ramené à une idée géométrique et par suite à la notion de la forme : c’est ce que nous allons montrer.
II
. Disons d’abord quelques mots de la forme : cette notion de la forme se déduit de l’observation comparative des corps ; la forme ou la figure des corps est cet élément qui subsiste lorsqu’on fait abstraction de la matière qui les compose et de leurs positions respectives ; nous concevons donc qu’une figure conserve sa forme en changeant de position ; cela permet de comparer entre elles deux figures en
