A PROPOS DE LA NOTION DE LIMITE EN MATHÉMATIQUES DIALOGUE PHILOSOPHIQUE A. — Vous l'avouerai-je? toutes les fois que je vois intervenir dans les traités de géométrie ou d'analyse la notion de limite, je me sens troublé; je ne vois plus clair. Il me semble que le livre où je m'ins- truis cesse d'être un ouvrage de mathématiques, ou encore que l'au- teur du traité fait appel, pour le besoin de ses démonstrations, à quelque chose de mystérieux, comme les savants du moyen âge, à bout de ressources, invoquaient sans hésiter des causes cachées qu'ils décoraient des plus beaux noms... Je crois bien que je ne suis , pas le seul à demander de la lumière; mais ce qui me frappe, c'est la tranquillité sereine, le calme parfait avec lequel se déroulent dans les traités ces suites de propositions qui me surprennent si étrange- ment. Entre nous, je me demande parfois si les mathématiciens ont conscience de toutes les difficultés qu'ils soulèvent eux-mêmes. B. — Quelles difficultés peuvent bien vous troubler dans la notion de limite? Lorsque une quantité varie, s'il arrive que sa différence avec une quantité fixe finisse par tomber au-dessous de n'importe quelle valeur assignée d'avance, on dit qu'elle a pour limite cette quantité fixe. Le nombre 0,999... a pour limite 1, quand le nombre des chiffres décimaux croît indéfiniment, car la différence avec 1 est i 1 J i j7£ si l'on prend n chiffres. La somme 1 + Q -j- — 2 -j-" . . . . + $s 5 dont la valeur est 2 — gj a pour limite 2,.... quand n grandit indé- finiment. N'est-ce pas très clair? A. — Eh quoi! vous acceptez sans sourciller ce fait d'une quantité TOME XXXII. — JUILLET 1891. 1
