un seul, déterminé sans ambiguïté ; ainsi dans les deux séries prises pour exemples, on peut faire correspondre un nombre entier quelconque et le nombre pair qui est son double ; si une telle correspondance peut être réalisée, on dira que les deux ensembles sont de même puissance ou encore équivalents.
On remarquera que dans l’exemple choisi, tous les éléments du second ensemble étaient en même temps des éléments du premier ; lorsque ce cas se présente, le second ensemble est dit partie intégrante du premier.
Une partie intégrante d’un ensemble peut donc, comme on vient de le voir, avoir la même puissance que cet ensemble ; mais évidemment il n’en sera pas toujours ainsi.
Cependant si deux ensembles n’ont pas la même puissance, par exemple la série des nombres entiers positifs, et l’ensemble de tous les points situés sur une droite de longueur finie, l’un de ces deux ensembles sera toujours équivalent à une partie intégrante de l’autre ; la puissance du premier sera alors dite plus petite que celle du second.
Pour tous les ensembles infinis, la plus petite puissance qui se présente, celle qu’on peut par suite, qualifier de première, est celle de la série des nombres entiers positifs.
La classe qui comprend les ensembles équivalents à cette série, ou la première classe d’ensembles, est très étendue ; elle comprend non seulement par exemple, toute partie intégrante infinie de la série des nombres entiers positifs (ainsi celle des nombres pairs), mais nombre d’ensembles dont cette série est elle-même partie intégrante ; ainsi l’ensemble de tous les nombres rationnels ; ainsi encore l’ensemble de tous les nombres algébriques, c’est-à-dire ceux qui satisfont à une équation algébrique de degré quelconque à coefficients rationnels, etc.
En général, toute somme d’ensembles de la première classe sera elle-même un ensemble de la première classe.
La puissance qui se présente comme immédiatement supérieure à la première, qu’on peut, par suite, qualifier de seconde, est celle qu’offre l’ensemble de tous les points d’une droite limitée, de longueur égale à l’unité par exemple, ou, ce qui revient au même, l’ensemble de toutes les valeurs arithmétiques possibles entre 0 et 1.
Il est facile de démontrer que l’ensemble des points d’une droite limitée, de longueur égale à l’unité, est équivalent à celui des points d’une droite illimitée, soit dans un sens, soit dans deux. Ainsi pour une droite illimitée dans un seul sens, en déterminant les points sur chaque droite par leur distance à l’origine, pour la droite limi-
