84 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. nèral 48, dans le cas I 144 ? dans le cas 7/48o et dans le cas 111 a4o intégrales définies qui représentent le même terme d’une fonction P et, par conséquent, ont entre elles un rapport indépendant de x.
Parmi ces intégrales, 24 paires, déduites l’une de l’autre par un nombre pair d’échanges d’exposants entre eux, sont aussi transformables entre elles par une substitution linéaire telle que pour trois quelconques des quatre valeurs o, i, oo, ~ de la variable d’intégration 5, la nouvelle variable prenne les valeurs o, i, oo. Les équations restantes, autant que j’ai poursuivi cette recherche, nécessitent, pour être établies par les méthodes du Calcul intégral, la transformation d’intégrales multiples. NOTES.
[ 1J (p. 71). Dans une Note de Vécriture de Riemann datée de juillet 1856, l’on trouve les formules suivantes, que l’on tire de (3) en attribuant aux cinq constantes arbitraires des valeurs convenablement choisies : sin(a -h 3’-h y’)t : _ sin(a-h (3-h y) ?! sin (fi’— sin((3’— p ) tt ’
sin (a’-h 8’h-y)tt _ sin(x’-f- p -h y’)71 XP sin(p’—p 7 tc 3 r ? sin({3’—J3)t : 3 sin (a —t- Û’-|- Y f , j . sin ( % H— S -+* y ) tt , ,, . y ~ —T L-L— eta+yiT^ %v, = , ■ c(a’+y )tw 1 si n ( y — Y ) ~ ’ sin ( y — y )71 sin (a’h- 3 -h Y)™ «w » sin(a’H-B !-h vW , . a’ = a’> — el*+ï
• sin(y — y)7r < sm(y —y)7c
[2] (p. 82). Si l’on pose, pour abréger, S = s—a’-P’-Y’ (1 — j)-3t’-P-r (1 — xs)-*-P’-rf l’on obtient, à des facteurs constants près, Pa = xa(i— x)Y Ç S ds, pP = #a(i — x)t f S ds, PY = æ*(i — x)1 f S ds7 ^ 0 df) J _ „
P* — x*(i — ^ ds, P** — #a(i — #)T jf S ds, PY = x*(i — x)Y jT S ds. X'
