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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. [3] (p. 82). Un chemin d’intégration, qui peut être employé dans tous les cas, est indiqué par Pochhammer {Math. Annalen, t. XXXV). Ce chemin forme un double circuit autour de deux, points de ramification, comme l’indique la fig. 3.
Si l’on peut intégrer jusqu’aux points a et b, ce chemin peut être rétréci de manière à être figuré par quatre lignes joignant a et b. Si l’on Fig. 3.
désigne par P l’intégrale prise le long d’une de ces lignes, l’intégrale étendue au double circuit est égale à
(,__elairi)(f_e-2piu)P.
Félix Klein a donné une présentation encore plus élégante de ces expressions des fonctions P en introduisant des variables homogènes {Math. Annalen, t. XXXVIII).
[4-] (p. 83). D’après le complément à sa démonstration de la convergence de la série de Fourier, donné par Dirichlet dans le Supplément au Mémoire Sur les Fonctions sphériques {Journ. de Crelle, t. 4 ; Répertoriant de Dovc, 1.1 ; Journ. de Crelle, t. 17 ; Œuvres de Dirichlet, p. 117, 133, 3o5), une fonction périodique d’un argument réel qui devient en un point infinie d’ordre inférieur au premier peut être développée en une série de Fourier. Si l’on applique ce théorème aux valeurs qu’une fonction P, développable en série hypergéométrique, admet sur le cercle de rayon unité qui a l’origine pour centre, l’on obtient une série qui ne peut être différente de celle que l’on a lorsque l’on prend dans la série hypergéométrique le module (la valeur absolue) de x égal à t.
