l’étude des phénomènes de l’électricité et des autres branches de la Physique mathématique, était encore presque nouvelle à l’époque de Riemann. Green avait, il est vrai, publié son Ouvrage fondamental, en 1828, mais ce travail était resté longtemps dans l’oubli. Vient Gauss en 1839. La propagation de la théorie, le développement ultérieur des principaux théorèmes, en Allemagne du moins, est essentiellement l’œuvre des leçons de Dirichlet. C’est à celles-ci que se rattache immédiatement Riemann.
Ainsi, c’est à Riemann le premier que l’on doit ce progrès consistant à donner à la Théorie du potentiel une signification fondamentale en Mathématiques et, d’autre part, ensuite, se présente chez lui l’invention de constructions géométriques ou, j’aimerais plutôt dire, de créations géométriques dont je vais, si vous le permettez, parler un instant.
Comme premier pas, Riemann envisage toujours l’équation
comme une représentation du plan sur un plan . On
constate que cette représentation est conforme, autrement dit, elle
conserve les angles, et elle peut être également caractérisée par
cette propriété. Nous avons ainsi un nouveau moyen à notre
disposition pour la définition des fonctions de . Riemann
développe, à ce point de vue, son merveilleux théorème : qu’il
existe toujours une fonction par l’entremise de laquelle un
domaine quelconque, simplement connexe, du plan , est
représentable sur un domaine quelconque, simplement connexe,
donné du plan . Cette fonction est complètement déterminée
à trois constantes près, qui demeurent arbitraires.
Il établit, en outre, cette représentation, si célèbre aujourd’hui sous le nom de surface de Riemann, c’est-à-dire une surface à plusieurs feuillets recouvrant le plan, et dont les feuillets sont soudés les uns aux autres aux points dits de ramification. C’était là le concept le plus difficile à imaginer, mais aussi combien fécond en résultats ! Tous les jours, nous voyons l’extrême difficulté qu’éprouve le débutant à se figurer le mode d’existence des
