THÉORIE DES FONCTIONS ABÉUENNES.
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NOTES.
[1] (p. 95). Le théorème énoncé ici demande certaines restrictions et plus de précision, comme Tonelli Ta fait observer (Atti délia R. Accademia dei Lincei, 2e série, vol. II ; 1875.— Extrait publié dans les Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften de Gôttingue ; 1875). Lorsque le système de courbes a, considéré aussi bien dans sa réunion avec le système de courbes b que dans sa réunion avec un second système de courbes c, forme l’encadrement complet d’une portion de la surface F, alors en général, pour que la réunion des systèmes de courbes b et c forme également l’encadrement complet d’une portion de F, il est nécessaire qu’une partie des courbes a, réunie soit aux b7 soit aux c, ne forme pas déjà l’encadrement d’une portion de surface. La portion de surface encadrée par les systèmes de courbes b et c et qui, même lorsque les portions de surface a, b et a, c sont simples, peut être formée par plusieurs pièces séparées, est décrite par Tonelli comme il suit : cette portion est formée de la totalité des portions de surface a7 b et a, c, quand on ne tient pas compte, parmi les morceaux communs à ces deux portions de surface, de ceux dont l’encadrement est formé par les courbes a.
L’exemple, choisi par Tonelli, d’une double surface annulaire, dont l’encadrement est un point (surface percée d’un trou) et quintuplement connexe, éclaircit et rend intuitive cette discussion. Dans l’application que fait Riemann de ce théorème à la définition de la connexion (n -h i)-uple, comme le système désigné précédemment par a n’est jamais formé par plus d’une courbe, courbe a qui sera remplacée par b, ces remarques ne portent pas sur l’exactitude de ce qui suit. [2] (p. 124). Si l’on pose
dz — ds ety,
(p sera l’angle compris entre la direction de l’élément ifs de la ligne d’encadrement et l’axe des x7 et, par conséquent, l’intégrale L/*iogÿ=-L/*p
2 7ZlJ ds 2 7T J 1
est égale au nombre des circuits décrits par la direction de la ligne d’encadrement lorsqu’on la parcourt dans le sens positif. Alors chaque section transverse sera parcourue deux fois, en sens opposés, de telle sorte que ces portions du chemin se détruisent et qu’il ne reste que les parties
