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NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.

où l’intégration doit être prise de telle sorte que la partie réelle de $s$ reste constante^[1].

Cette intégrale représente, pour une valeur de $y$ pour laquelle a lieu une variation par saut brusque de la fonction, la valeur moyenne des valeurs de la fonction $h$ de chaque côté du saut. Avec les modes de détermination exposés ci-dessus, la fonction $f(x)\,$ possède cette même propriété, et l’on a donc, d’une manière générale,

$f(y)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {\log \zeta (s)}{s}}y^{s}ds$.

On peut maintenant substituer à $\log \zeta \,$, l’expression trouvée précédemment

${\frac {s}{2}}\log \pi -\log(s-1)-\log \prod {\frac {s}{2}}+\sum _{\alpha }\log \left[1+{\frac {(s-{\frac {1}{2}})^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]+\log \xi (0)$^[2]

Mais les intégrales de chaque terme de cette expression, prises jusqu’à l’infini, ne convergent pas ; il sera donc convenable de transformer l’équation précédente à l’aide d’une intégration par parties en

$f(x)=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d{\frac {\log \zeta (s)}{s}}}{ds}}x^{s}ds$

Comme

$-\log \prod {\frac {s}{2}}=\lim \left[\sum _{n=1}^{n=m}\log \left(1+{\frac {s}{2n}}\right)-{\frac {s}{2}}\log m\right]$,

pour $m=\infty$, et que, par suite

$-{\frac {d{\frac {1}{s}}\log \prod \left({\frac {s}{2}}\right)}{ds}}=\sum _{1}^{\infty }{\frac {d{\frac {1}{s}}\log \left(1+{\frac {s}{2n}}\right)}{ds}}$,

tous les termes de l’expression de $f(x)\,$, à l’exception de

${\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {1}{s^{2}}}\log \xi (0)x^{s}ds=\log \xi (0)$,

prennent alors la forme

$\pm {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d\left[{\frac {1}{s}}\log \left(1-{\frac {s}{\beta }}\right)\right]}{ds}}x^{s}ds$.

1. Note du trad. L’énoncé de ce théorème manque de rigueur. Les deux équations traitées séparément comme il est indiqué, les limites d’intégration $0,\infty$ se rapportant à $\log x$, donnent
   $\pi y^{-\alpha }\left[h(y)\pm h\left({\frac {1}{y}}\right)\right]$,

   
   et, par conséquent, fournissent en premier lieu par leur somme la formule du texte.

2. Note de Wikisource : Le manuscrit (p. 4) et les Gesammelte Werke (p. 141) introduisent encore un $\sum _{\alpha }\,$ devant l’avant-dernier logarithme. Dans les Monatsberichte le signe somme manque :
   ${\frac {s}{2}}\log \pi -\log(s-1)-\log \prod {\frac {s}{2}}+\log \left(1+{\frac {(s-{\frac {1}{2}})^{2}}{\alpha \alpha }}\right)+\log \xi (0)$