REPRÉSENTATION d’(JNE FONCTION PAR UNE SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE. 227 Sous certaines hypothèses, qui s’accordent de très près avec la réalité, la forme d’une corde tendue, vibrant dans son plan (en désignant par x la distance d’un quelconque de ses points à son extrémité initiale, et par y la distance, au bout du temps £, de ce point à sa position d’équilibre), est, comme on sait, déterminée par l’équation aux différentielles partielles &1y _ d%y
ât2 ” dx*’
a étant indépendant de t et, dans le cas d’une corde d’épaisseur uniforme, indépendant de x.
D’Àlembert est le premier qui ait donné une solution générale de cette équation différentielle. Il a montré (* ) que toute fonction de x et de t qui, mise à la place dey, rend cette équation identique, doit être contenue dans la formule
H- a £) -f- — a £),
ainsi qu’on le voit en introduisant comme variables indépendantes x -f- ou, x — a ; à la place de £, ce qui change ây
à2y 1 â2y d(x ctt)
dx2 a2 ât’1 Cn d(x— cet)
Outre cette équation aux différentielles partielles, qui résulte des lois générales du mouvement, il faut encore quey satisfasse à la condition d’être constamment = o aux points d’attache de la corde ; on a donc, en faisant pour l’un de ces points x — o, pour l’autre x = /,
/(«O = — <p(— af)> /(/ + aO = -tp(/-aOî ct, par suite,
f(z) = — Cf(—-*) = — ![>[ / — (£ + .«)] =f(ll +• «), J = /( * t + x) —/(a t — x).
Après avoir poussé jusque-là la solution générale du problème, d’Alemberl s’occupe, dans une suite à son Mémoire (-), de l’équa- (*) Mémoires de VAcadémie de Berlin, p. 214 ; 1747* (2) Ibid., p. 220.
