les considérations abstraites, mais du moins les résultats du calcul
pourront ensuite être représentés sous forme géométrique. Les
fondements de ces deux parties de la question sont établis dans le
célèbre Mémoire de M. Gauss : Disquisitiones générales circa superficies curvas
Les déterminations métriques exigent l’indépendance entre les grandeurs et le lieu, ce qui peut se réaliser de plusieurs manières. L’hypothèse qui s’offre d’abord, et que je développerai ici, est celle dans laquelle la longueur des lignes est indépendante de leur position, et où par suite chaque ligne est mesurable au moyen de chaque autre. La détermination de lieu étant ramenée à des déterminations de grandeurs, et la position d’un point dans la variété donnée à dimensions étant, par suite, exprimée au moyen de grandeurs variables , la détermination d’une ligne reviendra à ce que les quantités soient données comme des fonctions d’une variable. Le problème consiste alors à établir une expression mathématique de la longueur d’une ligne, et à cet effet il faut considérer les quantités comme exprimables en unités. Je ne traiterai ce problème que sous certaines restrictions, et je me bornerai d’abord aux lignes dans lesquelles les rapports entre les accroissements des variables correspondantes varient d’une manière continue. On peut alors concevoir les lignes décomposées en éléments, dans l’étendue desquels les rapports des quantités puissent être regardés comme constants, et le problème revient alors à établir, pour chaque point, une expression générale de l’élément linéaire partant de ce point, expression qui contiendra ainsi les quantités et les quantités . J’admettrai, en second lieu, que la longueur de l’élément linéaire, abstraction faite des quantités du second ordre, reste invariable, lorsque tous les points de cet élément subissent un même déplacement infiniment petit, ce qui implique en même temps que, si toutes les quantités croissent dans un même rapport, l’élément linéaire varie également dans ce même rapport. Ces hypothèses
