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HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDEMENT À LA GÉOMÉTRIE.

carrés de ces expressions, de telle sorte que les variables indépendantes soient la grandeur $s$ et les rapports des quantités $d\alpha$ ; et remplaçons enfin les $d\alpha$ par des quantités $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ qui leur soient proportionnelles, et dont la somme des carrés soit $=s^{2}$. Si l’on introduit ces grandeurs, alors, pour des valeurs infiniment petites des $x$, le carré de l’élément linéaire sera $=\sum dx^{2}$ ; le terme de l’ordre suivant dans ce carré sera égal à une fonction homogène du second degré des $n{\frac {n-1}{2}}$ grandeurs $(x_{1}dx_{2}-x_{2}dx_{1})$, $(x_{1}dx_{3}-x_{3}dx_{1})$, …, c’est-à-dire qu’il sera un infiniment petit du quatrième ordre ; de telle sorte que l’on obtient une grandeur finie en divisant ce terme par le carré du triangle infiniment petit dont les sommets correspondent aux systèmes de valeurs $(0,0,0,...),(x_{1},x_{2},x_{3}...),(dx_{1},dx_{2},dx_{3}...)$ des variables. Ce terme conserve la même valeur, tant que les quantités $x$ et dx sont contenues dans les mêmes formes linéaires binaires, ou tant que les deux lignes de plus courte distance, depuis les valeurs $0$ jusqu’aux valeurs $x$ et depuis les valeurs $0$ jusqu’aux valeurs $dx$, restent dans le même élément superficiel, et il ne dépend, par conséquent, que du lieu et de la direction de cet élément. Ce terme est évidemment $=0$, lorsque la variété représentée est plane, c’est-à-dire lorsque le carré de l’élément linéaire est réductible à $\sum dx^{2}$, et il peut, par conséquent, être considéré comme la mesure de la quantité dont la variété s’écarte de la planarité^[1] en ce point et dans cette direction superficielle. En le multipliant par -¾ il devient égal à la quantité que Gauss a appelée la mesure de courbure d’une surface. Pour déterminer les rapports métriques d’une variété à $n$ dimensions, susceptible d’une représentation sous la forme supposée, on a trouvé tout à l’heure que $n.{\frac {n-1}{2}}$ fonctions du lieu sont nécessaires ; si donc on donne, en chaque point, la mesure de la courbure suivant $n.{\frac {n-1}{2}}$ directions superficielles, on pourra déterminer par leur moyen les rapports métriques de la variété, pourvu seulement qu’entre ces valeurs il n’existe pas des relations identiques, relations qui, effectivement, n’existent pas en général. Les rapports métriques de

1. Ebenheit dans l’original. — (J. Hoüel.)