Pour éclaircir ce qui précède par un exemple géométrique, considérons les surfaces de mesure de courbure constante. Il est aisé de voir que les surfaces dont la mesure de courbure est constante et positive peuvent toujours s’appliquer sur une sphère dont le rayon est égal à l’unité divisée par la racine carrée de la mesure de courbure ; mais, pour embrasser d’un coup d’œil la variété tout entière de ces surfaces, donnons à l’une d’elles la forme d’une sphère, et aux autres la forme de surfaces de révolution la touchant suivant l’équateur. Les surfaces de plus grande mesure de courbure que cette sphère toucheront alors la sphère intérieurement et prendront une forme semblable à la partie extérieure d’une surface annulaire, la plus éloignée de l’axe de cette surface. Elles seraient applicables sur des zones de sphères de rayon moindre, mais recouvriraient ces zones plus d’une fois. Les surfaces de moindre mesure de courbure positive s’obtiendront en découpant, sur des surfaces sphériques de plus grand rayon, un fuseau limité par deux demi-grands cercles, et unissant entre elles les lignes de section. La surface de mesure de courbure nulle sera une surface cylindrique ayant pour base l’équateur ; les surfaces de mesure de courbure négative toucheront ce cylindre extérieurement et auront une forme semblable à celle de la partie intérieure d’une surface annulaire, tournée vers l’axe. Si l’on considère ces surfaces comme le lieu où peut se mouvoir un segment superficiel, de même que l’espace est le lieu où se meuvent les corps, le segment superficiel sera mobile sans extension sur toutes ces surfaces. Les surfaces à mesure de courbure positive pourront toujours recevoir une forme telle que les segments superficiels puissent, de plus, s’y mouvoir sans flexion, et cette forme sera celle d’une sphère ; mais cela ne se peut plus dans le cas de la mesure de courbure négative. Outre cette propriété des segments superficiels d’être indépendants du lieu, la surface de mesure de courbure nulle possède encore la propriété que la direction est indépendante du lieu, propriété qui n’existe pas chez les autres surfaces.
