DÉMONSTRATION
DE CE THÉORÈME
QU’UNE FONCTION UNIFORME DE n VARIABLES A PLUS DE 2U PÉRIODES NE SAURAIT EXISTER. Extrait d’une Lettre de Riemann à M. Weierstrass (Journal de Crelle, t. 71). (Œuvres de Riemann, a’ édition, page aç^.)
La démonstration de ce théorème, qui a dernièrement fait
l’objet de notre entretien, qu’/me fonction uniforme de n variables à plus de 2 n périodes ne saurait exister9 je ne l’ai pas exposée d’une manière tout à fait claire dans le cours de notre conversation, et j’en ai seulement indiqué les idées de base. Je vous en fais donc part ici encore une fois. Soit f une fonction 2 «-uplement périodique de n variables x{, x2, ..., xn, et — je puis faire usage de mes notations qui vous sont bien connues — soit ai^ le module de périodicité de xw relatif à la <jLieme période. L’on sait que les grandeurs x peuvent se mettre sous la forme (1 )
[JL = 2/7
^
I*— I
où v—1, a, ..., n, de telle sorte qué les grandeurs £ soient ( 1 ) Ce n’est pas toujours le cas ; cela n’a lieu que lorsque les 2 n équations qui déterminent les grandeurs sont indépendantes entre elles. Mais les exceptions sont faciles à traiter. — (Riemann. )
