ï4 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. l’on aura
dI^(TT = —J(Xcosf + Ycosrt)ds,
l’intégrale du second membre étant prise relativement à tous les éléments ds du contour.
C (IX
Pour transformer l’intégrale j dT, décomposons la partie du plan A que recouvre la surfaceTpar un système de lignes parallèles à l’axe des x en bandes élémentaires, et cela de telle sorte que chaque point de ramification de la surface T se trouve sur une de ces lignes. Ceci posé, chaque partie de T se rapportant à l’une des bandes est formée d’un ou de plusieurs morceaux distincts de forme trapézoïdale. La contribution qu’apporte à la valeur de /c ?X
— c/T une de ces bandes de surface découpant sur l’axe des^ l’élément dy sera évidemment
- S-àdx ’
l’intégration ci-dessus étant prise relativement à celle ou celles des lignes droites appartenant à la surface T qui recouvrent une normale issue d’un point quelconque de cet élément dy. Soient maintenant Oy, Off, 0//y, ... les extrémités inférieures (nous entendons par là celles qui correspondent aux plus petites valeurs de x) de ces lignes, et 0 ;, O", O’", ... les extrémités supérieures, et désignons par X,, X^, Xw, ... et X7, X", X’", ... les valeurs respectives de X en ces points, et par dsf, ds , rfs , . . ., ds dsfr, ds !ff, ... les éléments respectifs correspondants que découpe la bande élémentaire sur le contour, et enfin par Ç , . . ., £’, Ç’7, ... les valeurs de £ en ces éléments ; l’on aura alors
/
§^=-x,-x.-x,
+ X’+ X’+ X’"
Les angles £ seront évidemment aigus aux extrémités inférieures, obtus aux extrémités supérieures, et l’on aura par suite dy = cos %fdst — cos = ...
= — cos£’c&’ — — cos£ff<&" = ... .
